Question

已知：方程

x-1

x-2

-

x-3

x-4

=

x-2

x-3

-

x-4

x-5

的解是x=

7

2

，方程

1

x-7

-

1

x-5

=

1

x-6

-

1

x-4

的解是x=

11

2

，試猜想：
（1）方程

1

x-7

+

1

x-1

=

1

x-6

+

1

x-2

的解；
（2）方程

1

x+a

-

1

x+b

=

1

x+c

-

1

x+d

的解（a、b、c、d表示不同的數(shù)）．

Answer 1

考點(diǎn)：分式方程的解

專題：

分析：通過解題目中已知的兩個(gè)方程的過程可以歸納出方程的解與方程中的常數(shù)之間的關(guān)系，利用這個(gè)關(guān)系可得出兩個(gè)方程的解．

解答：解：
解方程

x-1

x-2

-

x-3

x-4

=

x-2

x-3

-

x-4

x-5

，先左右兩邊分別通分可得：

(x-1)(x-4)-(x-2)(x-3)

(x-2)(x-4)

=

(x-2)(x-5)-(x-3)(x-4)

(x-3)(x-5)

，
化簡可得：

-1×(-4)-(-2)×(-3)

x2-6x+8

=

-2×(-5)-(-3)×(-4)

x2-8x+15

，
整理可得：2x=15-8，
解得：x=

7

2

，
這里的7即為（-3）×（-5）-（-2）×（-4），這里的2即為[-2+（-4）]-[-3+（-5）]；
解方程

1

x-7

-

1

x-5

=

1

x-6

-

1

x-4

，先左右兩邊分別為通分可得：

x-5-(x-7)

(x-7)(x-5)

=

x-4-(x-6)

(x-4)(x-6)

，
化簡可得：

2

x2-12x+35

=

2

x2-10x+24

，
解得：x=

11

2

，
這里的11即為（-7）×（-5）-（-4）×（-6），這里的2即為[-4+（-6）]-[-7+（-5）]；
所以可總結(jié)出規(guī)律：方程解的分子為右邊兩個(gè)分中的常數(shù)項(xiàng)的積減去左邊兩個(gè)分母中的常數(shù)項(xiàng)的積，解的分母為左邊兩個(gè)分母中的常數(shù)項(xiàng)的差減去右邊兩個(gè)分母中常數(shù)項(xiàng)的差．
（1）先把方程分為兩邊差的形式：方程

1

x-7

-

1

x-2

=

1

x-6

-

1

x-1

，
由所總結(jié)的規(guī)律可知方程解的分子為：（-1）×（-6）-（-7）×（-2）=-8，分母為[-7+（-2）]-[-6+（-1）]=-2，所以方程的解為x=

8

2

=4；
（2）由所總結(jié)的規(guī)律可知方程解的分子為：cd-ab，分母為（a+b）-（c+d），所以方程的解為x=

cd-ab

(a+b)-(c+d)

．

點(diǎn)評：本題主要考查閱讀所給知識，歸納方法規(guī)律的能力．解題的關(guān)鍵是由所給的兩個(gè)方程總結(jié)出方程的解與已知方程中各分母中的關(guān)系．