【題目】如圖,在邊長為3的正方形ABCD中,點E是BC邊上的點,BE=1,∠AEP=90°,且EP交正方形外角的平分線CP于點P,交邊CD于點F,

(1)的值為

(2)求證:AE=EP;

(3)在AB邊上是否存在點M,使得四邊形DMEP是平行四邊形?若存在,請給予證明;若不存在,請說明理由.

【答案】(1);(2)證明見解析;(3)存在,證明見解析.

【解析】

試題分析:(1)由正方形的性質可得:∠B=∠C=90°,由同角的余角相等,可證得:∠BAE=∠CEF,根據(jù)同角的正弦值相等即可解答;

(2)在BA邊上截取BK=BE,連接KE,根據(jù)角角之間的關系得到∠AKE=∠ECP,由AB=CB,BK=BE,得AK=EC,結合∠KAE=∠CEP,證明△AKE≌△ECP,于是結論得出;

(3)作DM⊥AE于AB交于點M,連接ME、DP,易得出DM∥EP,由已知條件證明△ADM≌△BAE,進而證明MD=EP,四邊形DMEP是平行四邊形即可證出.

試題解析:(1)∵四邊形ABCD是正方形,

∴∠B=∠D,

∵∠AEP=90°,

∴∠BAE=∠FEC,

在Rt△ABE中,AE=,

∵sin∠BAE==sin∠FEC=,

,

(2)在BA邊上截取BK=BE,連接KE,

∵∠B=90°,BK=BE,

∴∠BKE=45°,

∴∠AKE=135°,

∵CP平分外角,

∴∠DCP=45°,

∴∠ECP=135°,

∴∠AKE=∠ECP,

∵AB=CB,BK=BE,

∴AB-BK=BC-BE,

即:AK=EC,

由第一問得∠KAE=∠CEP,

∵在△AKE和△ECP中,

,

∴△AKE≌△ECP(ASA),

∴AE=EP;

(3)存在.

證明:作DM⊥AE交AB于點M,

則有:DM∥EP,連接ME、DP,

∵在△ADM與△BAE中,

,

∴△ADM≌△BAE(ASA),

∴MD=AE,

∵AE=EP,

∴MD=EP,

∴MDEP,MD=EP,

∴四邊形DMEP為平行四邊形.

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