Question

【題目】如圖1，已知在⊙O中，點(diǎn)C為劣弧AB上的中點(diǎn)，連接AC并延長(zhǎng)至D，使CD=CA，連接DB并延長(zhǎng)DB交⊙O于點(diǎn)E，連接AE．
（1）求證：AE是⊙O的直徑；
（2）如圖2，連接EC，⊙O半徑為5，AC的長(zhǎng)為4，求陰影部分的面積之和．（結(jié)果保留π與根號(hào)）

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接CB，AB，CE，

∵點(diǎn)C為劣弧AB上的中點(diǎn)，

∴CB=CA，

又∵CD=CA，

∴AC=CD=BC，

∴∠ABC=∠BAC，∠DBC=∠D，

∵Rt△斜邊上的中線等于斜邊的一半，

∴∠ABD=90°，

∴∠ABE=90°，

即弧AE的度數(shù)是180°，

∴AE是⊙O的直徑

（2）解：∵AE是⊙O的直徑，

∴∠ACE=90°，

∵AE=10，AC=4，

∴根據(jù)勾股定理得：CE=2 ，

∴S陰影=S半圓﹣S△ACE=12.5π﹣ ×4×2 =12.5π﹣4

【解析】（1）連接CB，AB，CE，由點(diǎn)C為劣弧AB上的中點(diǎn)，可得出CB=CA，再根據(jù)CD=CA，得△ABD為直角三角形，可得出∠ABE為直角，根據(jù)90度的圓周角所對(duì)的弦為直徑，從而證出AE是⊙O的直徑；（2）由（1）得△ACE為直角三角形，根據(jù)勾股定理得出CE的長(zhǎng)，陰影部分的面積等于半圓面積減去三角形ACE的面積．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了勾股定理的概念和圓周角定理的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；頂點(diǎn)在圓心上的角叫做圓心角;頂點(diǎn)在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個(gè)交點(diǎn)的角叫做圓周角;一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半才能正確解答此題．