Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中E為AD的中點(diǎn)，連接EC．

（1）作AEF∽DCE，點(diǎn)F在邊AB上（要求：尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）：

（2）在（1）的條件下，連接CF，求證：AEF∽ECF．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析

【解析】

（1）作∠AEF=∠ECD，進(jìn)而得出△AEF∽△DCE，即可得出答案；
（2）直接利用相似三角形的性質(zhì)得出，再利用相似三角形的判定方法得出答案．

（1）如圖，以C為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交CE、CD于G、H點(diǎn)；以E為圓心，以CG為半徑畫(huà)弧，交EA與M點(diǎn)；以M點(diǎn)為圓心，以GH為半徑畫(huà)弧，交前弧于N點(diǎn)；作射線EF交AB于F點(diǎn)，△AEF即為所求作的三角形；

（2）∵△AEF∽△DCE，

∴，

又∵E為AD的中點(diǎn)，

∴AE＝ED，

∴

∵∠DCE＋∠DEC＝90°，∠AEF＝∠DCE，

∴∠AEF＋∠DEC＝90°，

∴∠FEC＝90°，

∴∠A＝∠FEC＝90°，

∴△AEF∽△ECF