Question

如圖，已知c＜0，拋物線y=x²+bx+c與x軸交于A（x₁，0），B（x₂，0）兩點（x₂＞x₁），與y軸交于點C．
（1）若x₂=1，BC=

5

，求函數(shù)y=x²+bx+c的最小值；
（2）過點A作AP⊥BC，垂足為P（點P在線段BC上），AP交y軸于點M．若

OA

OM

=2，求拋物線y=x²+bx+c頂點的縱坐標隨橫坐標變化的函數(shù)解析式，并直接寫出自變量的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：代數(shù)幾何綜合題,壓軸題

分析：（1）根據(jù)勾股定理求得C點的坐標，把B、C點坐標代入y=x²+bx+c即可求得解析式，轉(zhuǎn)化成頂點式即可．
（2）根據(jù)△AOM∽△COB，得到OC=2OB，即：-c=2x₂；利用x₂²+bx₂+c=0，求得c=2b-4；將此關(guān)系式代入拋物線的頂點坐標，即可求得所求之關(guān)系式．

解答：解：（1）∵x₂=1，
∴OB=1，
∵BC=

5

，
∴OC=

BC2-OB2

=2，
∴C（0，-2），
把B（1，0），C（0，-2）代入y=x²+bx+c，得：0=1+b-2，
解得：b=1，
∴拋物線的解析式為：y=x²+x+-2．
轉(zhuǎn)化為y=（x+

1

2

）²-

9

4

；
∴函數(shù)y=x²+bx+c的最小值為-

9

4

．

（2）∵∠OAM+∠OBC=90°，∠OCB+∠OBC=90°，
∴∠OAM=∠OCB，又∵∠AOM=∠BOC=90°，
∴△AOM∽△COB，
∴

OA

OC

=

OM

OB

，
∴OC=

OA

OM

•OB=2OB，
∵c＜0，x₂＞0，
∴-c=2x₂，即x₂=-

c

2

．
∵x₂²+bx₂+c=0，將x₂=-

c

2

代入化簡得：c=2b-4．
拋物線的解析式為：y=x²+bx+c，其頂點坐標為（-

b

2

，

4c-b2

4

）．
令x=-

b

2

，則b=-2x．
y=

4c-b2

4

=c-

b2

4

=2b-4-

b2

4

=-4x-4-x²，
滿足點P在線段BC上的x最小取值，使P、C、M重合，

此時C（0，c），B（-

c

2

，0），A（2c，0），
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，對于x²+bx+c=0，
-b=-

c

2

+2c=

3

2

c，
由c=2b-4．解得c=-1，
所以b=-

3

2

c=

3

2

，
x=-

b

2

=-

3

4

；
所以自變量x的取值范圍．x≥-

3

4

∴頂點的縱坐標隨橫坐標變化的函數(shù)解析式為：y=-x²-4x-4（x≥-

3

4

）．

點評：本題考查了勾股定理、待定系數(shù)法求解析式、三角形相似的判定及性質(zhì)以及拋物線的頂點坐標的求法等．