【題目】在△ABC中,ABAC,DE分別在BCAC上,ADBE相交于點(diǎn)F

1)如圖1,若∠BAC60°,BDCE,求證:∠1=∠2;

2)如圖2,在(1)的條件下,連接CF,若CFBF,求證:BF2AF;

3)如圖3,∠BAC=∠BFD2CFD90°,若SABC2,求SCDF的值.

【答案】1)見解析;(2)見解析;(3

【解析】

1)根據(jù)等邊三角形的判定定理得到△ABC為等邊三角形,得到ABBC,∠ABC=∠C60°,證明△ABD≌△BCE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明結(jié)論;

2)過BBHAD,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠BAD=∠CBE,證明△AHB≌△BFC,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答;

3)過CCMADAD延長(zhǎng)線于M,過CCNBEBE延長(zhǎng)線于N,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到CMCN,證明△AFB≌△CMA,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BFAM,AFCM,根據(jù)三角形的面積公式列式計(jì)算即可.

1)證明:∵ABAC,∠BAC60°,

∴△ABC為等邊三角形,

ABBC,∠ABC=∠C60°

在△ABD和△BCE中,

,

∴△ABD≌△BCESAS),

∴∠1=∠2

2)如圖2,過BBHAD,垂足為H

∵△ABD≌△BCE,

∴∠BAD=∠CBE

∵∠ABF+CBE60°,

∴∠BFD=∠ABF+BAD60°

∴∠FBH30°,

BF2FH,

在△AHB和△BFC中,

∴△AHB≌△BFCAAS),

BFAHAF+FH2FH

AFFH,

BF2AF

3)如圖3,過CCMADAD延長(zhǎng)線于M,過CCNBEBE延長(zhǎng)線于N,

∵∠BFD2CFD90°,

∴∠EFC=∠DFC45°,

CF是∠MFN的角平分線,

CMCN,

∵∠BAC=∠BFD90°

∴∠ABF=∠CAD,

在△AFB和△CMA中,

∴△AFB≌△CMAAAS

BFAM,AFCM,

AFCN,

∵∠FMC90°,∠CFM45°,

∴△FMC為等腰直角三角形,

FMCM

BFAMAF+FM2CM,

SBDF2SCDF

AFCM,FMCM,

AFFM,

FAM的中點(diǎn),

AFBF,CNBF,AFCN,

SAFBSBFC,

設(shè)SCDFx,則SBDF2x,

SAFBSBFC3x

,

3x+3x+x2,

解得,x,即SCDF

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