Question

如圖，直線y=

3

x+4

3

與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，∠ABC=60°，BC與x軸交于點(diǎn)C．動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)沿AC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)（不與A、C重合），同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)沿C-B-A向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)（不與C、A重合），動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度是每秒1個(gè)單位長度，動(dòng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度是每秒2個(gè)單位長度．若當(dāng)△APQ的面積最大時(shí)，y軸上有一點(diǎn)M，平面內(nèi)存在一點(diǎn)N，使以A、Q、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：當(dāng)P點(diǎn)在AO之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，作QH⊥x軸．再求得QH，從而求得三角形APQ的面積，進(jìn)而得出當(dāng)△APQ的面積最大時(shí)，t的值，得出Q，B重合，進(jìn)而利用菱形的性質(zhì)求出即可．

解答：解：∵直線y=

3

x+4

3

與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，
∴x=0，y=4

3

，y=0，x=-4，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為：（-4，0），AO=4，BO=4

3

，
∴AB=8，
∴∠BAC=60°，
∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴CO=4，BC=8，
當(dāng)P點(diǎn)在AO之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，作QH⊥x軸．
∵

QH

OB

=

CQ

CB

，
∴

QH

4 3

=

2t

8

，
∴QH=

3

t
∴S_△APQ=

1

2

AP•QH=

1

2

t•

3

t=

3

2

t²﹙0＜t≤4﹚，
同理可得S_△APQ=

1

2

t•﹙8

3

-

3

t﹚=-

3

2

t²+4

3

t﹙4≤t＜8﹚，
當(dāng)t=4時(shí)S=

3

2

t²，S=-

3

2

t²+4

3

t此時(shí)取到最大值，
∴當(dāng)△APQ的面積最大時(shí)，此時(shí)Q與B重合，
當(dāng)以A、Q、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，
AN₁=8時(shí)，且AN₁∥y軸，則N₁（-4，-8），
AN₂=8時(shí)，且AN₂∥y軸，則N₂（-4，8），
當(dāng)N₃點(diǎn)與C點(diǎn)重合坐標(biāo)為：N₃（4，0），
當(dāng)AB是對角線，AE=AN=BE，設(shè)BE=x，則AE=AN=x，
∴在Rt△AEO中
AE²=EO²+AO²，
∴x²=（4

3

-x）²+4²，
解得：x=

8 3

3

，
∴N（-4，

8 3

3

），
綜上所述，點(diǎn)N的坐標(biāo)為：（4，0）（-4，8）或（-4，-8）或（-4，

8 3

3

）．
故答案為：（4，0）（-4，8）或（-4，-8）或（-4，

8 3

3

）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了菱形的性質(zhì)以及三角形面積求法和勾股定理等知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合以及分類討論得出N的位置是解題關(guān)鍵．