Question

如圖，直線y=

3

x+4

3

與x軸、y軸分別交于A、B兩點，∠ABC=60°，BC與x軸交于點C．動點P從A點出發(fā)沿AC向點C運動（不與A、C重合），同時動點Q從C點出發(fā)沿C-B-A向點A運動（不與C、A重合），動點P的運動速度是每秒1個單位長度，動點Q的運動速度是每秒2個單位長度．若當△APQ的面積最大時，y軸上有一點M，平面內(nèi)存在一點N，使以A、Q、M、N為頂點的四邊形為菱形，則點N的坐標為

 

．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：當P點在AO之間運動時，作QH⊥x軸．再求得QH，從而求得三角形APQ的面積，進而得出當△APQ的面積最大時，t的值，得出Q，B重合，進而利用菱形的性質(zhì)求出即可．

解答：解：∵直線y=

3

x+4

3

與x軸、y軸分別交于A、B兩點，
∴x=0，y=4

3

，y=0，x=-4，
∴A點坐標為：（-4，0），AO=4，BO=4

3

，
∴AB=8，
∴∠BAC=60°，
∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴CO=4，BC=8，
當P點在AO之間運動時，作QH⊥x軸．
∵

QH

OB

=

CQ

CB

，
∴

QH

4 3

=

2t

8

，
∴QH=

3

t
∴S_△APQ=

1

2

AP•QH=

1

2

t•

3

t=

3

2

t²﹙0＜t≤4﹚，
同理可得S_△APQ=

1

2

t•﹙8

3

-

3

t﹚=-

3

2

t²+4

3

t﹙4≤t＜8﹚，
當t=4時S=

3

2

t²，S=-

3

2

t²+4

3

t此時取到最大值，
∴當△APQ的面積最大時，此時Q與B重合，
當以A、Q、M、N為頂點的四邊形為菱形，
AN₁=8時，且AN₁∥y軸，則N₁（-4，-8），
AN₂=8時，且AN₂∥y軸，則N₂（-4，8），
當N₃點與C點重合坐標為：N₃（4，0），
當AB是對角線，AE=AN=BE，設BE=x，則AE=AN=x，
∴在Rt△AEO中
AE²=EO²+AO²，
∴x²=（4

3

-x）²+4²，
解得：x=

8 3

3

，
∴N（-4，

8 3

3

），
綜上所述，點N的坐標為：（4，0）（-4，8）或（-4，-8）或（-4，

8 3

3

）．
故答案為：（4，0）（-4，8）或（-4，-8）或（-4，

8 3

3

）．

點評：此題主要考查了菱形的性質(zhì)以及三角形面積求法和勾股定理等知識，利用數(shù)形結(jié)合以及分類討論得出N的位置是解題關(guān)鍵．