Question

已知下面四個圖中AB∥CD，試探討四個圖形中∠APC與∠PAB﹑∠PCD的數(shù)量關系．
（1）圖（1）中∠APC與∠PAB﹑∠PCD的關系是

 

．
（2）圖（2）中∠APC與∠PAB﹑∠PCD的關系是

 

．
（3）請你在圖（3）和圖（4）中任選一個，說出∠APC與∠PAB﹑∠PCD的關系，并加以證明．（提示：可過P點作PE∥AB）

Answer 1

考點：平行線的性質

專題：

分析：（1）過點P作PE∥AB，根據(jù)平行公理可得AB∥PE∥CD，再根據(jù)兩直線平行，內錯角相等可得∠PAB=∠APE，∠PCD=∠CPE，然后根據(jù)∠APC=∠APE+∠CPE整理即可；
（2）過點P作PE∥AB，根據(jù)平行公理可得AB∥PE∥CD，再根據(jù)兩直線平行，同旁內角互補∠PAB+∠APE=180°，∠PCD+∠CPE=180°，然根據(jù)∠APC=∠APE+∠CPE整理即可；
（3）圖（3）過點P作PE∥AB，根據(jù)平行公理可得AB∥PE∥CD，再根據(jù)兩直線平行，同旁內角互補∠PAB+∠APE=180°，∠PCD+∠CPE=180°，然根據(jù)∠APC=∠CPE-∠APE整理即可．

解答：解：（1）如圖，過點P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠PAB=∠APE，∠PCD=∠CPE，
∵∠APC=∠APE+∠CPE，
∴∠APC=∠PAB+∠PCD；

（2）過點P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠PAB+∠APE=180°，∠PCD+∠CPE=180°，
∵∠APC=∠APE+∠CPE，
∴∠APC+∠PAB+∠PCD=360°；
故答案為：（1）∠APC=∠PAB+∠PCD；
（2）∠APC+∠PAB+∠PCD=360°；

（3）圖（3）過點P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠PAB+∠APE=180°，∠PCD+∠CPE=180°，
∵∠APC=∠CPE-∠APE，
∴∠APC=∠PAB-∠PCD；
同理圖（4）∠APC=∠PCD-∠PAB．

點評：本題考查了平行線的性質，熟記性質是解題的關鍵，此類題目難點在于過拐點作平行線．