Question

【題目】如圖，在等邊△ABC內(nèi)有一點(diǎn)D，AD=5，BD=6，CD=4，將△ABD繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使AB與AC重合，點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)E．

（1）DE=_____；

（2）∠CDE的正切值為_____．

Answer 1

【答案】 5, 3

【解析】分析：（1）先利用等邊三角形的性質(zhì)AB=AC，∠BAC=60°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AD=AE, ∠DAE=∠BAC=60°，CE=BD=6,然后判斷△ADE為等邊三角形得到DE的長(zhǎng);(2) 作EH⊥CD于H, 設(shè)DH=x，則CH=4﹣x,利用勾股定理得到52﹣x2=62﹣(4-x),解得x=,再計(jì)算出EH的長(zhǎng)，然后利用正切的定義求解.

詳解：（1）∵△ABC為等邊三角形，

∴AB=AC，∠BAC=60°，

∵△ABD繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使AB與AC重合，點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)E，

∴AD=AE，∠DAE=∠BAC=60°，CE=BD=6，

∴△ADE為等邊三角形，

∴DE=AD=5；

（2）作EH⊥CD于H，如圖，

設(shè)DH=x，則CH=4﹣x，

在Rt△EDH中，EH2=DE2﹣DH2=52﹣x2，

在Rt△ECH中，EH2=CE2﹣CH2=62﹣（4﹣x）2，

∴52﹣x2=62﹣（4﹣x）2，解得x=，

∴EH==，

∴tan∠EDH==3，

即∠CDE的正切值為3．

故答案為5，3．