Question

【題目】如圖，已知拋物線y=x2+3x﹣8的圖象與x軸交于A，B兩點（點A在點B的右側），與y軸交于點C．

（1）求直線BC的解析式；

（2）點F是直線BC下方拋物線上的一點，當△BCF的面積最大時，在拋物線的對稱軸上找一點P，使得△BFP的周長最小，請求出點F的坐標和點P的坐標；

（3）在（2）的條件下，是否存在這樣的點Q（0，m），使得△BFQ為等腰三角形？如果有，請直接寫出點Q的坐標；如果沒有，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x﹣8；（2）F（﹣4，﹣12），P（﹣3，﹣10）；（3）見解析.

【解析】試題分析：（1）利用待定系數(shù)法求出B、C兩點坐標即可解決問題；

（2）如圖1中，作FN∥y軸交BC于N．設F（m， m2+3m﹣8），則N（m，﹣m﹣8），構建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質求出點F坐標，因為點B關于對稱軸的對稱點是A，連接AF交對稱軸于P，此時△BFP的周長最小，求出直線AF的解析式即可解決問題；

（3）如圖2中，分三種情形討論：①當FQ1=FB時，Q1（0，0）．②當BF=BQ時，易知Q2（0，﹣ ），Q3（0， ）．③當Q4B=Q4F時，設Q（0，m），構建方程即可解決問題；

試題解析：解：（1）對于拋物線y=x2+3x﹣8，令y=0，得到： x2+3x﹣8=0，解得：x=﹣8或2，∴B（﹣8，0），A（2，0），令x=0，得到：y=﹣8，∴A（2，0），B（﹣8，0），C（0，﹣8），設直線BC的解析式為y=kx+b，則有： ，解得： ，∴直線BC的解析式為y=﹣x﹣8．

（2）如圖1中，作FN∥y軸交BC于N．設F（m， m2+3m﹣8），則N（m，﹣m﹣8）

∴S△FBC=S△FNB+S△FNC=FN×8=4FN=4[（﹣m﹣8）﹣（m2+3m﹣8）]=﹣2m2﹣16m=﹣2（m+4）2+32，∴當m=﹣4時，△FBC的面積有最大值，此時F（﹣4，﹣12）．∵拋物線的對稱軸x=﹣3，點B關于對稱軸的對稱點是A，連接AF交對稱軸于P，此時△BFP的周長最小，設直線AF的解析式為y=ax+b，則有： ，解得： ，∴直線AF的解析式為y=2x﹣4，∴P（﹣3，﹣10），∴點F的坐標和點P的坐標分別是F（﹣4，﹣12），P（﹣3，﹣10）．

（3）如圖2中，∵B（﹣8，0），F（﹣4，0），∴BF==．分三種情況討論：

①當FQ1=FB時，Q1（0，0）．

②當BF=BQ時，易知Q2（0，﹣ ），Q3（0， ）．

③當Q4B=Q4F時，設Q4（0，m），則有82+m2=42+（m+12）2，解得m=﹣4，∴Q4（0，﹣4）

∴Q點坐標為（0，0）或（0， ）或（0，﹣）或（0，﹣4）．