【題目】如圖,已知拋物線y=x2+3x﹣8的圖象與x軸交于A,B兩點(點A在點B的右側),與y軸交于點C.
(1)求直線BC的解析式;
(2)點F是直線BC下方拋物線上的一點,當△BCF的面積最大時,在拋物線的對稱軸上找一點P,使得△BFP的周長最小,請求出點F的坐標和點P的坐標;
(3)在(2)的條件下,是否存在這樣的點Q(0,m),使得△BFQ為等腰三角形?如果有,請直接寫出點Q的坐標;如果沒有,請說明理由.
【答案】(1)y=﹣x﹣8;(2)F(﹣4,﹣12),P(﹣3,﹣10);(3)見解析.
【解析】試題分析:(1)利用待定系數(shù)法求出B、C兩點坐標即可解決問題;
(2)如圖1中,作FN∥y軸交BC于N.設F(m, m2+3m﹣8),則N(m,﹣m﹣8),構建二次函數(shù),利用二次函數(shù)的性質求出點F坐標,因為點B關于對稱軸的對稱點是A,連接AF交對稱軸于P,此時△BFP的周長最小,求出直線AF的解析式即可解決問題;
(3)如圖2中,分三種情形討論:①當FQ1=FB時,Q1(0,0).②當BF=BQ時,易知Q2(0,﹣ ),Q3(0, ).③當Q4B=Q4F時,設Q(0,m),構建方程即可解決問題;
試題解析:解:(1)對于拋物線y=x2+3x﹣8,令y=0,得到: x2+3x﹣8=0,解得:x=﹣8或2,∴B(﹣8,0),A(2,0),令x=0,得到:y=﹣8,∴A(2,0),B(﹣8,0),C(0,﹣8),設直線BC的解析式為y=kx+b,則有: ,解得: ,∴直線BC的解析式為y=﹣x﹣8.
(2)如圖1中,作FN∥y軸交BC于N.設F(m, m2+3m﹣8),則N(m,﹣m﹣8)
∴S△FBC=S△FNB+S△FNC=FN×8=4FN=4[(﹣m﹣8)﹣(m2+3m﹣8)]=﹣2m2﹣16m=﹣2(m+4)2+32,∴當m=﹣4時,△FBC的面積有最大值,此時F(﹣4,﹣12).∵拋物線的對稱軸x=﹣3,點B關于對稱軸的對稱點是A,連接AF交對稱軸于P,此時△BFP的周長最小,設直線AF的解析式為y=ax+b,則有: ,解得: ,∴直線AF的解析式為y=2x﹣4,∴P(﹣3,﹣10),∴點F的坐標和點P的坐標分別是F(﹣4,﹣12),P(﹣3,﹣10).
(3)如圖2中,∵B(﹣8,0),F(﹣4,0),∴BF==.分三種情況討論:
①當FQ1=FB時,Q1(0,0).
②當BF=BQ時,易知Q2(0,﹣ ),Q3(0, ).
③當Q4B=Q4F時,設Q4(0,m),則有82+m2=42+(m+12)2,解得m=﹣4,∴Q4(0,﹣4)
∴Q點坐標為(0,0)或(0, )或(0,﹣)或(0,﹣4).
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【題目】動手操作:
(1)如圖1,將一塊直角三角板DEF放置在直角三角板ABC上,使三角板DEF的兩條直角邊DE、DF分別經過點B、C,且BC∥EF,已知∠A=30°,則∠ABD+∠ACD= 度;
(2)如圖2,∠BDC與∠A、∠B、∠C之間存在著什么關系,并說明理由;
(3)靈活應用:請你直接利用以上結論,解決以下列問題:如圖3,BE平分∠ABD,CE平分∠ACD,若∠BAC=40°,∠BDC=120°,求∠BEC的度數(shù)。
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【題目】某小組做“用頻率估計概率”的試驗時,統(tǒng)計了某一結果出現(xiàn)的頻率,繪制了如圖所示的折線統(tǒng)計圖,則符合這一結果的試驗最有可能的是( )
A. 在“石頭、剪刀、布”的游戲中,小明隨機出的是“剪刀”
B. 一副去掉大小王的普通撲克牌洗勻后,從中任抽一張牌的花色是紅桃
C. 暗箱中有1個紅球和2個黃球,它們只有顏色上的區(qū)別,從中任取一球是黃球
D. 擲一個質地均勻的正六面體骰子,向上的面點數(shù)是4
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【題目】某班6名同學的身高(單位:cm)情況如下表:
同學 | A | B | C | D | E | F |
身高 | 165 | 166 | 171 | |||
身高與班級平均身高的差值 | -1 | +2 | -3 | +3 |
(1)完成表中空白的部分;
(2)他們的最高身高與最矮身高相差多少?
(3)他們6人的平均身高是多少?
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【題目】如圖,在等邊△ABC內有一點D,AD=5,BD=6,CD=4,將△ABD繞A點逆時針旋轉,使AB與AC重合,點D旋轉至點E.
(1)DE=_____;
(2)∠CDE的正切值為_____.
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【題目】如圖,矩形ABCD的對角線AC、BD交于點O,且DE∥AC,CE∥BD.
(1)求證:四邊形OCED是菱形;
(2)若∠BAC=30°,AC=4,求菱形OCED的面積.
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【題目】在平面直角坐標系中,現(xiàn)將一塊等腰直角三角板ABC放在第一象限,斜靠在兩條坐標軸上,且點A(0,2),點C(1,0),BE⊥x軸于點E,一次函數(shù)y=x+b經過點B,交y軸于點D.
(1)求證:△AOC≌△CEB;
(2)求△ABD的面積.
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【題目】某市推出電腦上網(wǎng)包月制,每月收取費用y(元)與上網(wǎng)時間x(小時)的函數(shù)關系如圖所示,其中BA是線段,且BA∥x軸,AC是射線.
(1)當x≥30,求y與x之間的函數(shù)關系式;
(2)若小李4月份上網(wǎng)20小時,他應付多少元的上網(wǎng)費用?
(3)若小李5月份上網(wǎng)費用為75元,則他在該月份的上網(wǎng)時間是多少?
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【題目】(1)如圖1所示,在△ABC中,若AB=AC,∠BAC=120°,AB的垂直平分線交BC于點M,交AB于點E.AC的垂直平分線交BC于點N,交AC于點F,連接AM、AN,試判斷△AMN的形狀,并證明你的結論.
(2)如圖2所示,在△ABC中,若∠C=45°,AB的垂直平分線交BC于點M,交AB于點E,AC的垂直平分線交BC于點N,交AC于點F,連接AM、AN,若AC=3,BC=8,求MN的長.
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