Question

如果兩個角的差的絕對值等于90°，就稱這兩個角互為垂角，例如：∠1=120°，∠2=30°，|∠1-∠2|=90°，則∠1和∠2互為垂角（本題中所有角都是指大于0°且小于180°的角）
（1）如圖1，O為直線AB上一點(diǎn)，OC⊥AB于點(diǎn)O，OE⊥OD于點(diǎn)O，直接指出圖中所有互為垂角的角；
（2）如果一個角的垂角等于這個角的補(bǔ)角的

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，求這個角的度數(shù)；
（3）如圖2，O為直線AB上一點(diǎn)，∠AOC=75°，將整個圖形繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)n（0＜n＜90°），直線AB旋轉(zhuǎn)到A′B′，OC旋轉(zhuǎn)到OC′，作射線OP，使∠BOP=∠BOB′，求：當(dāng)n為何值時，∠POA′與∠AOC′互為垂角．

Answer 1

考點(diǎn)：余角和補(bǔ)角,角的計(jì)算

專題：新定義

分析：（1）根據(jù)互為垂角的定義即可求解；
（2）利用題中的“一個角的垂角等于這個角的補(bǔ)角的

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”作為相等關(guān)系列方程求解；
（3）分0＜n＜75，75＜n＜90兩種情況討論可得n的值．

解答：解：（1）互為垂角的角有4對：∠EOB與∠DOB，∠EOB與∠EOC，∠AOD與∠COD，∠AOD與∠AOE；

（2）設(shè)這個角的度數(shù)為x度，則
①當(dāng)0＜x＜90時，它的垂角是90+x度，依題意有
90+x=

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（180-x），
解得x=18；
②當(dāng)90＜x＜180時，它的垂角是x-90度，依題意有
x-90=

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（180-x），
解得x=126；
故這個角的度數(shù)為18或126度；

（3）當(dāng)n=75時OC′和OA重合，分兩種情況：
①當(dāng)0＜n＜75時，∠COC′=n°，∠AOC′=75°-n°，
∠POB=∠BOB′=n°，
∠A′OP=180°-（∠POB+∠BOB′）=180°-2n°，
∵∠A′OP-∠AOC′=90°，
∴|（180-2n）-（75-n）|=90，
∵0＜n＜75，
∴n=15；
②當(dāng)75＜n＜90時，∠AOC′=n°-75°，
∠POB=∠BOB′=n°，
∠A′OP=180°-（∠POB+∠BOB′）=180°-2n°，
∵∠A′OP-∠AOC′=90°，
∴|（180-2n）-（n-75）|=90，
解得n=55或115，
∵75＜n＜90，
∴n=55或115舍去．
綜上所述；n=15時，∠POA′與∠AOC′互為垂角．

點(diǎn)評：主要考查了互為垂角和補(bǔ)角的概念以及運(yùn)用．互為垂角的兩個角的差的絕對值等于90°，互為補(bǔ)角的兩角之和為180°．解此題的關(guān)鍵是能準(zhǔn)確的從圖中找出角之間的數(shù)量關(guān)系，從而計(jì)算出結(jié)果．