Question

如圖，邊長為2正方形ABCD中，BD為對角線，AE∥BD，且DE=DB，DE與AB交于F點，則EF=

 

．

Answer 1

考點：正方形的性質,含30度角的直角三角形,勾股定理,相似三角形的判定與性質

專題：

分析：根據正方形的性質求出∠DAE=135°，DE=2

2

，借助余弦定理求出AE的長度；利用相似三角形的性質求出EF的長度．

解答：解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠C=∠DAB=90°，∠ABD=45°；
又∵AE∥BD，
∴∠BAE=∠ABD=45°，
∴∠DAE=135°；
由勾股定理得：BD=

22+22

=

8

=2

2

；
故DE=BD=2

2

；
設AE=x，由余弦定理得：
(2

2

)2=22+x2-2×2xcos135°，
整理得：x2+2

2

x-4=0，
解得x=

6

-

2

或-

6

-

2

（不合題意，舍去）；
設EF=y，則AF=2

2

-x\；
∵AE∥DB，
∴△AEF∽△BDF，
∴

AE

BD

=

EF

DF

，即

6 - 2

2 2

=

y

2 2 -y

，
解得y=4

2

-2

6

．
故所求的答案為4

2

-2

6

．

點評：考查了正方形的性質、相似三角形的性質及其應用問題；解題的關鍵是首先借助余弦定理求出AE的長度，然后利用相似三角形的性質求出EF的長度；對綜合運用能力提出了較高的要求．