Question

【題目】如圖1，在正方形中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)，是上任意一點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，與交于點(diǎn)．

（1）求證：；

（2）如圖2，若點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，于點(diǎn)，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，其他條件不變，判斷線段與的數(shù)量關(guān)系： ．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）DP=AR，證明見(jiàn)解析．

【解析】

（1）由四邊形ABCD為正方形，得到對(duì)角線垂直且互相平分，再由AQ與BR垂直，得到一對(duì)角相等，進(jìn)而得到△PAO與△RBO全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可得證；

（2）與（1）同理可證OR=OP，結(jié)合正方形的性質(zhì)可證明DP=AR．

證明：（1）∵正方形ABCD的對(duì)角線DB，AC相交于點(diǎn)O，
∴DB⊥AC，OA=OB，

∴∠QAC+∠APO=90°，∠BOC=∠AOB=90°，
∵AQ⊥BR，

∴∠QAC+∠BRO=90°，
∴∠APO =∠BRO，
∴△PAO≌△RBO（AAS），
∴OR=OP；

（2）DP=AR，理由如下：

與（1）同理可證OR=OP，

∵四邊形ABCD為正方形，

∴AO=OD,

∴AO+OR=OD+OP，

∴AR=DP，