Question

【題目】已知二次函數(shù)的最大值為4，且該拋物線與軸的交點為，頂點為.

（1）求該二次函數(shù)的解析式及點，的坐標(biāo)；

（2）點是軸上的動點，

①求的最大值及對應(yīng)的點的坐標(biāo)；

②設(shè)是軸上的動點，若線段與函數(shù)的圖像只有一個公共點，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），點坐標(biāo)為，頂點的坐標(biāo)為；（2）①最大值是，的坐標(biāo)為，②的取值范圍為或或.

【解析】

（1）先利用對稱軸公式x=，計算對稱軸，即頂點坐標(biāo)為（1，4），再將兩點代入列二元一次方程組求出解析式；
（2）根據(jù)三角形的三邊關(guān)系：可知P、C、D三點共線時|PC-PD|取得最大值，求出直線CD與x軸的交點坐標(biāo)，就是此時點P的坐標(biāo)；
（3）先把函數(shù)中的絕對值化去，可知，此函數(shù)是兩個二次函數(shù)的一部分，分三種情況進行計算：①當(dāng)線段PQ過點（0，3），即點Q與點C重合時，兩圖象有一個公共點，當(dāng)線段PQ過點（3，0），即點P與點（3，0）重合時，兩函數(shù)有兩個公共點，寫出t的取值；②線段PQ與當(dāng)函數(shù)y=a|x|2-2a|x|+c（x≥0）時有一個公共點時，求t的值；③當(dāng)線段PQ過點（-3，0），即點P與點（-3，0）重合時，線段PQ與當(dāng)函數(shù)y=a|x|2-2a|x|+c（x＜0）時也有一個公共點，則當(dāng)t≤-3時，都滿足條件；綜合以上結(jié)論，得出t的取值．

解：（1）∵，

∴的對稱軸為.

∵人最大值為4，

∴拋物線過點.

得，

解得.

∴該二次函數(shù)的解析式為.

點坐標(biāo)為，頂點的坐標(biāo)為.

（2）①∵，

∴當(dāng)三點在一條直線上時，取得最大值.

連接并延長交軸于點，.

∴的最大值是.

易得直線的方程為.

把代入，得.

∴此時對應(yīng)的點的坐標(biāo)為.

②的解析式可化為

設(shè)線段所在直線的方程為，將，的坐標(biāo)代入，可得線段所在直線的方程為.

（1）當(dāng)線段過點，即點與點重合時，線段與函數(shù)的圖像只有一個公共點，此時.

∴當(dāng)時，線段與函數(shù)的圖像只有一個公共點.

（2）當(dāng)線段過點，即點與點重合時，線段與函數(shù)的圖像只有一個公共點，此時.

當(dāng)線段過點，即點與點重合時，，此時線段與函數(shù)的圖像有兩個公共點.

所以當(dāng)時，線段與函數(shù)的圖像只有一個公共點.

（3）將帶入，并整理，得.

.

令，解得.

∴當(dāng)時，線段與函數(shù)的圖像只有一個公共點.

綜上所述，的取值范圍為或或.