【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,△ABC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,﹣1),頂點(diǎn)B在x軸的負(fù)半軸上,頂點(diǎn)C在y軸的正半軸上,且∠ABC=90°,∠ACB=30°,線段OC的垂直平分線分別交OC,BC于點(diǎn)D,E.
(1)點(diǎn)C的坐標(biāo);
(2)點(diǎn)P為線段ED的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),連接PC,PA,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t,△ACP的面積為S,求S與t的函數(shù)關(guān)系式;
(3)在(2)的條件下,點(diǎn)F為線段BC的延長(zhǎng)線上一點(diǎn),連接OF,若OF=CP,求∠OFP的度數(shù).
【答案】(1)C(0,3);(2)S=2t;(3)60°.
【解析】
(1)根據(jù)直角三角形30度角的性質(zhì)分別計(jì)算AB和AC的長(zhǎng),可得OC的長(zhǎng),寫出點(diǎn)C的坐標(biāo);
(2)根據(jù)三角形面積公式得:S△ACP=×AC×DP=×4×t=2t;
(3)如圖3,過點(diǎn)O作OH⊥BC于H,證明Rt△OHF≌Rt△ODP,得∠HFO=∠DPO,再證明△FOP是等邊三角形,則∠OFP=60°.
(1)∵∠ABC=90°,
∴∠CBO+∠ABO=90°,
∵∠CBO+∠ACB=90°,
∴∠ABO=∠ACB,
∴∠ACB=30°,
∴∠ABO=30°,
在Rt△AOB中,∵∠ABO=30°,
∴AB=2OA,
在Rt△ABC中,∠ACB=30°,
∴AC=2AB,
∵A(0,﹣1),
∴OA=1,
∴AB=2,AC=4,
∴OC=AC﹣OA=4﹣1=3,
∴C(0,3);
(2)∵DE所在直線為線段OC的垂直平分線,
∴PD⊥OC,
∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t,
∴PD=t,
∵AC=4,
∴S△ACP==2t,
即S=2t;
(3)如圖3,過點(diǎn)O作OH⊥BC于H,連接OP,
在Rt△CHO中,∵∠HCO=30°,
∴OH=OC,
∵OD=OC,
∴OH=OD,
∵PE所在直線為線段CD的垂直平分線,
∴PC=PO,
∴OF=CP,
∴PO=FO,
在Rt△OHF和Rt△ODP中,
∵,
∴Rt△OHF≌Rt△ODP(HL),
∴∠HFO=∠DPO,
∴∠FEP+∠HFO=∠FOP+∠DPO,
∴∠FEP=∠FOP,
∵∠FEP=60°,
∴∠FOP=60°,
∴△FOP是等邊三角形,
∴∠OFP=60°.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在一個(gè)不透明的袋中有除顏色外其他完全相同的3個(gè)球,每次從袋中摸出一個(gè)球,記下顏色后放回?cái)噭蛟倜,在摸球試?yàn)中得到下表中部分?jǐn)?shù)據(jù):
摸球 總次數(shù) | 40 | 80 | 120 | 160 | 200 | 240 | 280 | 320 | 360 | 400 |
摸到黃球的次數(shù) | 14 | 23 | 38 | 52 | 67 | 86 | 97 | 111 | 120 | 136 |
摸到黃球的頻率 | 35% | 32% | 33% | 35% | 35% |
(1)請(qǐng)將上表補(bǔ)充完整(結(jié)果精確到1%);
(2)制作折線統(tǒng)計(jì)圖表示摸到黃球的頻率的變化情況;
(3)估計(jì)從袋中摸出一個(gè)球是黃球的概率是多少.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知AB∥CD.
(1)判斷∠FAB與∠C的大小關(guān)系,請(qǐng)說明理由;
(2)若∠C=35°,AB是∠FAD的平分線.
①求∠FAD的度數(shù);
②若∠ADB=110°,求∠BDE的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足為D,AE∥BC,DE∥AB. 證明:
(1)AE=DC;
(2)四邊形ADCE為矩形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校積極參與垃圾分類活動(dòng),以班級(jí)為單位收集可回收的垃圾,下面是七年級(jí)各班一周收集的可回收垃圾的質(zhì)量頻數(shù)表和頻數(shù)直方圖(每組含前一個(gè)邊界值,不含后一個(gè)邊界值).
某校七年級(jí)各班一周收集的可回收垃圾的質(zhì)量頻數(shù)表
組別(kg) | 頻數(shù) |
4.0~4.5 | 2 |
4.5~5.0 | a |
5.0~5.5 | 3 |
5.5~6.0 | 1 |
(1)求a的值;
(2)已知收集的可回收垃圾以0.8元/kg被回收,該年級(jí)這周收集的可回收垃圾被回收后所得的金額能否達(dá)到50元.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我們知道:同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等.也就是,如圖(1),⊙O中, 所對(duì)的圓周角∠ACB=∠ADB=∠AEB.
(1)已知:如圖(2),矩形ABCD.
①若AB< BC,在邊AD上求作點(diǎn)P,使∠BPC=90°.(保留作圖痕跡,寫出作法.)
②小明經(jīng)研究發(fā)現(xiàn),當(dāng)AB、BC的大小關(guān)系發(fā)生變化時(shí),①中點(diǎn)P的個(gè)數(shù)也會(huì)發(fā)生變化,請(qǐng)你就點(diǎn)P的個(gè)數(shù),探討AB與BC之間的數(shù)量關(guān)系.(直接寫出結(jié)論)
創(chuàng)新
(2)小明經(jīng)進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn):命題“若四邊形的一組對(duì)邊相等和一組對(duì)角相等,則這個(gè)四邊形是平行四邊形.”是一個(gè)假命題,并在平行四邊形的基礎(chǔ)上利用“同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等.”作出了一個(gè)反例圖形.請(qǐng)你利用下面如圖(3)所給的□ABCD作出該反例圖形.(不寫作法,保留作圖痕跡)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線l與△ABC在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形網(wǎng)格中,點(diǎn)A,B,C都為網(wǎng)格線的交點(diǎn).
(1)請(qǐng)畫出△ABC關(guān)于直線l對(duì)稱的△A1B1C1(點(diǎn)A,B,C的對(duì)稱點(diǎn)分別為A1,B1,C1).
(2)請(qǐng)畫出將線段AC向左平移3個(gè)單位,再向下平移5個(gè)單位得到的線段A2C2(點(diǎn)A,C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A2,C2),再以A2C2為斜邊畫一個(gè)等腰直角三角形A2B2C2.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O,點(diǎn)M,N分別是邊BC,CD上的動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B,C,D重合),AM,AN分別交BD于點(diǎn)E,F(xiàn),且∠MAN始終保持45°不變.
(1)求證: = ;
(2)求證:AF⊥FM;
(3)請(qǐng)?zhí)剿鳎涸凇螹AN的旋轉(zhuǎn)過程中,當(dāng)∠BAM等于多少度時(shí),∠FMN=∠BAM?寫出你的探索結(jié)論,并加以證明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線y=kx+6分別與x軸、y軸交于點(diǎn)E,F(xiàn),已知點(diǎn)E的坐標(biāo)為(﹣8,0),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣6,0).
(1)求k的值;
(2)若點(diǎn)P(x,y)是該直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且在第二象限內(nèi)運(yùn)動(dòng),試寫出△OPA的面積S關(guān)于x的函數(shù)解析式,并寫出自變量x的取值范圍.
(3)探究:當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),△OPA的面積為,并說明理由.
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