Question

【題目】我們知道：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等．也就是，如圖（1），⊙O中， 所對(duì)的圓周角∠ACB=∠ADB=∠AEB．
（1）已知：如圖（2），矩形ABCD．
①若AB＜ BC，在邊AD上求作點(diǎn)P，使∠BPC=90°．（保留作圖痕跡，寫(xiě)出作法．）
②小明經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)AB、BC的大小關(guān)系發(fā)生變化時(shí)，①中點(diǎn)P的個(gè)數(shù)也會(huì)發(fā)生變化，請(qǐng)你就點(diǎn)P的個(gè)數(shù)，探討AB與BC之間的數(shù)量關(guān)系．（直接寫(xiě)出結(jié)論）
創(chuàng)新
（2）小明經(jīng)進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)：命題“若四邊形的一組對(duì)邊相等和一組對(duì)角相等，則這個(gè)四邊形是平行四邊形．”是一個(gè)假命題，并在平行四邊形的基礎(chǔ)上利用“同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等．”作出了一個(gè)反例圖形．請(qǐng)你利用下面如圖（3）所給的□ABCD作出該反例圖形．（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）

Answer 1

【答案】
（1）解：①如圖2所示：

作法：以BC為直徑作⊙O，交AD于P1、P2

P1、P2 為所求作的點(diǎn)P，

②AB＜ BC時(shí)，點(diǎn)P有兩個(gè)；

AB= BC時(shí)，點(diǎn)P有且只有1個(gè)；

AB＞ BC時(shí)，點(diǎn)P有0個(gè)；

（2）解：如圖3所示：

連接AC，作△ADC的外接圓⊙O，再以C為圓心，CD的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與⊙O相交于點(diǎn)E，則四邊形ABCE即為所求反例圖形．

【解析】（1）①直接利用圓的性質(zhì)得出BC的中點(diǎn)，進(jìn)而得出⊙O，即可得出P點(diǎn)位置；②利用①中所求，進(jìn)而利用AB＜ BC時(shí)，AB= BC時(shí)，AB＞ BC時(shí)，分別得出答案；（2）利用圓周角定理結(jié)合圓的相關(guān)性質(zhì)得出符合題意的圖形．