Question

如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AD為BC邊上的中線，點(diǎn)E為AD中點(diǎn)，CE的延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)F，F(xiàn)G∥AC，交AD于點(diǎn)G，連接CG．求證：
（1）四邊形ACGF是等腰梯形；
（2）BF=2CG．

Answer 1

考點(diǎn)：等腰梯形的判定

專(zhuān)題：證明題

分析：（1）根據(jù)已知條件得出AE=CE，再根據(jù)FG∥AC，得出EF=GE，在△AEF和△CEG中，根據(jù)SAS得出△AEF≌△CEG，從而得出CG=AF，即可證出四邊形ACGF是等腰梯形；
（2）過(guò)D作DM平行AC交AB于M，過(guò)E作EN平行AC交AB于N，根據(jù)E為AD中點(diǎn)，EN∥AC∥DM，得出

EN

DM

=

AN

AM

=

AE

AD

=

1

2

，再根據(jù)D為BC中點(diǎn)，DM∥AC，得出

DM

AC

=

BM

AB

=

BD

BC

=

1

2

，從而得出FB=2AF，再根據(jù)AF=CG，即可得出BF=2CG．

解答：解：（1）∵∠ACB=90°，E為AD中點(diǎn)，
∴AE=CE，
∵FG∥AC，
∴

EF

CE

=

GE

AE

，
∴EF=GE，
在△AEF和△CEG中，

AE=CE ∠AEF=∠CEG EF=EG

，
∴△AEF≌△CEG（SAS），
∴CG=AF，
∴四邊形ACGF是等腰梯形；

（2）過(guò)D作DM平行AC交AB于M，過(guò)E作EN平行AC交AB于N，
∵E為AD中點(diǎn)，EN∥AC∥DM，
∴

EN

DM

=

AN

AM

=

AE

AD

=

1

2

，
∵D為BC中點(diǎn)，DM∥AC，
∴

DM

AC

=

BM

AB

=

BD

BC

=

1

2

∴

EN

AC

=

EN

DM

•

DM

AC

=

1

4

，
∴

EF

CF

=

EN

AC

=

1

4

，
∴

EF

CE

=

1

3

，
∴

GF

AC

=

EF

CE

=

1

3

，
∴

GF

DM

=

GF

AC 2

=

2

3

∴

AF

AM

=

GF

DM

=

2

3

，

AF

AB

=

AF

2AM

=

1

3

，

AF

FB

=AF（AB-AF）=

1

3-1

=

1

2

，
∴FB=2AF，
又∵AF=CG，
∴BF=2CG．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了等腰梯形的判定，用到的知識(shí)點(diǎn)是全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰梯形的判定、平行線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，關(guān)鍵是根據(jù)題意做出輔助線，構(gòu)造相應(yīng)的三角形．