Question

【題目】 如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，AD和過(guò)C點(diǎn)的切線互相垂直，垂足為D，AD交⊙O于點(diǎn)E．
（1）求證：AC平分∠DAB；
（2）若∠B=60°，CD=2 ，求AE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖1，連接OC，

∵CD為⊙O的切線，

∴OC⊥CD，

∴∠OCD=90°，

∵AD⊥CD，

∴∠ADC=90°，

∴∠OCD+∠ADC=180°，

∴AD∥OC，

∴∠1=∠2，

∵OA=OC，

∴∠2=∠3，

∴∠1=∠3，

則AC平分∠DAB

（2）解：

法1：如圖2，連接OE，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

又∵∠B=60°，

∴∠1=∠3=30°，

在Rt△ACD中，CD=2 ，∠1=30°，

∴AC=2CD=4 ，

在Rt△ABC中，AC=4 ，∠CAB=30°，

∴AB= = =8，

∵∠EAO=2∠3=60°，OA=OE，

∴△AOE是等邊三角形，

∴AE=OA= AB=4；

法2：如圖3，連接CE，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

又∠B=60°，

∴∠1=∠3=30°，

在Rt△ACD中，CD=2 ，

∴AD= = =6，

∵四邊形ABCE是⊙O的內(nèi)接四邊形，

∴∠B+∠AEC=180°，

又∵∠DEC=∠B=60°，

在Rt△CDE中，CD=2 ，

∴DE= = =2，

∴AE=AD﹣DE=4．

【解析】（1）連接OC，由CD為圓O的切線，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OC垂直于CD，由AD垂直于CD，可得出OC平行于AD，根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等可得出∠1=∠2，再由OA=OC，利用等邊對(duì)等角得到∠2=∠3，等量代換可得出∠1=∠3，即AC為角平分線；（2）法1：由AB為圓O的直徑，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角可得出∠ACB為直角，在直角三角形ABC中，由∠B的度數(shù)求出∠3的度數(shù)為30°，可得出∠1的度數(shù)為30°，在直角三角形ACD中，根據(jù)30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，由CD的長(zhǎng)求出AC的長(zhǎng)，在直角三角形ABC中，根據(jù)cos30°及AC的長(zhǎng)，利用銳角三角函數(shù)定義求出AB的長(zhǎng)，進(jìn)而得出半徑OE的長(zhǎng)，由∠EAO為60°，及OE=OA，得到三角形AEO為等邊三角形，可得出AE=OA=OE，即可確定出AE的長(zhǎng)；法2：連接EC，由AB為圓O的直徑，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角可得出∠ACB為直角，在直角三角形ABC中，由∠B的度數(shù)求出∠3的度數(shù)為30°，可得出∠1的度數(shù)為30°，在直角三角形ADC中，由CD及tan30°，利用銳角三角函數(shù)定義求出AD的長(zhǎng)，由∠DEC為圓內(nèi)接四邊形ABCE的外角，利用圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)對(duì)角，得到∠DEC=∠B，由∠B的度數(shù)求出∠DEC的度數(shù)為60°，在直角三角形DEC中，由tan60°及DC的長(zhǎng)，求出DE的長(zhǎng)，最后由AD﹣ED即可求出AE的長(zhǎng)．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用圓周角定理和切線的性質(zhì)定理，掌握頂點(diǎn)在圓心上的角叫做圓心角;頂點(diǎn)在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個(gè)交點(diǎn)的角叫做圓周角;一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半；切線的性質(zhì)：1、經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑即可以解答此題．