Question

【題目】如圖1，A（1，0）、B（0，2），雙曲線y＝（x＞0）

（1）若將線段AB繞A點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)90°后B的對應(yīng)點(diǎn)恰好落在雙曲線y＝（x＞0）上

①則k的值為　 ；

②將直線AB平移與雙曲線y＝（x＞0）交于E、F，EF的中點(diǎn)為M（a，b），求的值；

（2）將直線AB平移與雙曲線y＝（x＞0）交于E、F，連接AE．若AB⊥AE，且EF＝2AB，如圖2，直接寫出k的值　 ．

Answer 1

【答案】（1）①k＝3；②2；（2）k＝．

【解析】

（1）先求出A、B點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出旋轉(zhuǎn)后B點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而由待定系數(shù)法求出k便可；
（2）設(shè)出EF的解析式，再求出點(diǎn)E、F的坐標(biāo)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得M點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求；
（3）由△ABO∽△EHA得：，設(shè)EH=m，則AH=2m，求出EF的表達(dá)式并與反比例函數(shù)表達(dá)式聯(lián)立求出點(diǎn)F坐標(biāo)，即可求解

（1）①設(shè)旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C，過點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，如圖所示

∵∠BAC＝90°，

∴∠BAO+∠CAD＝90°，

∵∠BAO+∠ABO＝90°，

∴∠ABO＝∠CAD，

在△OAB和△DCA中，

，

∴△OAB≌△DCA（AAS），

∴CD＝OA＝1，

AD＝OB＝2，

∴OD＝OA+AD＝3，

∴C（3，1），

把C（3，1）代入y＝中，得k＝3，

故答案為3；

②直線AB表達(dá)式中的k值為﹣2，AB∥EF，則直線EF表達(dá)式中的k值為﹣2，

設(shè)點(diǎn)E（m，n），mn＝3，

直線EF的表達(dá)式為：y＝﹣2x+t，

將點(diǎn)E坐標(biāo)代入上式并解得，直線EF的表達(dá)式為y＝﹣2x+2m+n，

將直線EF表達(dá)式與反比例函數(shù)表達(dá)式聯(lián)立并整理得：

2x2﹣（2m+n）x+3＝0，

x1+x2＝，x1x2＝，

則點(diǎn)F（n，），

則a＝（），b＝（n+），

＝2；

（2）故點(diǎn)E作EH⊥x軸交于點(diǎn)H，

由（1）知：△ABO∽△EHA，

∴，設(shè)EH＝m，則AH＝2m，

則點(diǎn)E（2m+1，m），且k＝m（2m+1）＝2m2+m，

直線AB表達(dá)式中的k值為﹣2，AB∥EF，則直線EF表達(dá)式中的k值為﹣2，

設(shè)直線EF的表達(dá)式為：y＝﹣2x+b，將點(diǎn)E坐標(biāo)代入并求解得：b＝5m+2，

故直線EF的表達(dá)式為：y＝﹣2x+5m+2，

將上式與反比例函數(shù)表達(dá)式聯(lián)立并整理得：2x2﹣（5m+2）x+3＝0，

用韋達(dá)定理解得：xF+xE＝，則xF＝，

則點(diǎn)F（m，4m+2），

則EF＝＝2AB＝2×，

整理得：3m2+4m﹣4＝0，

解得：m＝或﹣2（舍去負(fù)值），

k＝m（2m+1）＝2m2+m＝．