Question

如圖，△ABC的邊AB=3，AC=2，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ分別表示以AB、AC、BC為邊的正方形，求圖中三個陰影部分的面積之和的最大值是多少？

Answer 1

分析：把△CFH繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°，使CF與BC重合，H旋轉(zhuǎn)到H'的位置，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)有A、C、H'在一直線上，且BC為△ABH'的中線，得到S_△CHF=S_△BCH'=S_△ABC，同理：S_△BDG=S_△AEM=S_△ABC，所以S_{陰影部分面積}=3S_△ABC=3×

1

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AB×AC×sin∠BAC，即當AB⊥AC時，S_△ABC最大值為：

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2

×2×3=3，即可得到三個陰影部分的面積之和的最大值．

解答：解：把△CFH繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°，使CF與BC重合，H旋轉(zhuǎn)到H'的位置，
∵四邊形ACHM為正方形，∠ACH=90°，CA=CH=CH′，
∴A、C、H'在一直線上，且BC為△ABH'的中線，
∴S_△CHF=S_△BCH'=S_△ABC，
同理：S_△BDG=S_△AEM=S_△ABC，
所以陰影部分面積之和為S_△ABC的3倍，
又AB=3，AC=2，
∴S_{陰影部分面積}=3S_△ABC=3×

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2

AB×AC×sin∠BAC，
當∠BAC最大時陰影部分面積之和最大，
即當AB⊥AC時，S_△ABC最大值為：

1

2

×2×3=3
∴陰影部分面積的最大值為3×3=9（平方單位）．

點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后的兩個圖形全等，對應點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等．也考查了正方形的性質(zhì)和三角形的面積公式．