【題目】如圖1 ,等腰直角三角形 ABC 中,∠ACB=90°,CB=CA,直線 DE 經(jīng)過點 C,過 A 作 AD⊥DE 于點 D,過 B 作 BE⊥DE 于點 E,則△BEC≌△CDA,我們稱這種全等模型為 “K 型全等”.(不需要證明)
(模型應用)若一次函數(shù) y=kx+4(k≠0)的圖像與 x 軸、y 軸分別交于 A、B 兩點.
(1)如圖 2,當 k=-1 時,若點 B 到經(jīng)過原點的直線 l 的距離 BE 的長為 3,求點 A 到直線 l 的距離 AD 的長;
(2)如圖 3,當 k=- 時,點 M 在第一象限內(nèi),若△ABM 是等腰直角三角形,求點
M 的坐標;
(3)當 k 的取值變化時,點 A 隨之在 x 軸上運動,將線段 BA 繞點 B 逆時針旋轉(zhuǎn) 90° 得到 BQ,連接 OQ,求 OQ 長的最小值.
【答案】(1);(2)點M的坐標為(7,3)或(4,7)或(,);(3)OQ的最小值為4.
【解析】
(1)先求出A、B兩點的坐標,根據(jù)勾股定理即可求出OE的長,然后利用AAS證出△ADO≌△OEB,即可求出AD的長;
(2)先求出A、B兩點的坐標,根據(jù)等腰直角三角形的直角頂點分類討論,分別畫出對應的圖形,利用AAS證出對應的全等三角形即可分別求出點M的坐標;
(3)根據(jù)k的取值范圍分類討論,分別畫出對應的圖形,設點A的坐標為(x,0),證出對應的全等三角形,利用勾股定理得出OQ2與x的函數(shù)關(guān)系式,利用平方的非負性從而求出OQ的最值.
解:(1)根據(jù)題意可知:直線AB的解析式為y=-x+4
當x=0時,y=4;當y=0時,x=4
∴點A的坐標為(4,0)點B的坐標為(0,4)
∴OA=BO=4
根據(jù)勾股定理:OE=
∵∠ADO=∠OEB=∠AOB=90°
∴∠AOD+∠OAD=90°,∠AOD+∠BOE=90°
∴∠OAD=∠BOE
在△ADO和△OEB中
∴△ADO≌△OEB
∴AD= OE=
(2)由題意可知:直線AB的解析式為y=x+4
當x=0時,y=4;當y=0時,x=3
∴點A的坐標為(3,0)點B的坐標為(0,4)
∴OA=3,BO=4
①當△ABM是以∠BAM為直角頂點的等腰直角三角形時,AM=AB,過點M作MN⊥x軸于N
∵∠MNA=∠AOB=∠BAM=90°
∴∠MAN+∠AMN=90°,∠MAN+∠BAO=90°
∴∠AMN=∠BAO
在△AMN和△BAO中
∴△AMN≌△BAO
∴AN=BO=4,MN=AO=3
∴ON=OA+AN=7
∴此時點M的坐標為(7,3);
②當△ABM是以∠ABM為直角頂點的等腰直角三角形時,BM=AB,過點M作MN⊥y軸于N
∵∠MNB=∠BOA=∠ABM=90°
∴∠MBN+∠BMN=90°,∠MBN+∠ABO=90°
∴∠BMN=∠ABO
在△BMN和△ABO中
∴△BMN≌△ABO
∴BN=AO=3,MN=BO=4
∴ON=OB+BN=7
∴此時點M的坐標為(4,7);
③當△ABM是以∠AMB為直角頂點的等腰直角三角形時,MA=MB,過點M作MN⊥x軸于N,MD⊥y軸于D,設點M的坐標為(x,y)
∴MD =ON=x,MN = OD =y,∠MNA=∠MDB=∠BMA=∠DMN=90°
∴BD=OB-OD=4-y,AN=ON-OA=x-3,∠AMN+∠DMA=90°,∠BMD+∠DMA=90°
∴∠AMN=∠BMD
在△AMN和△BMD中
∴△AMN≌△BMD
∴MN=MD,AN=BD
∴x=y,x-3=4-y
解得:x=y=
∴此時M點的坐標為(,)
綜上所述:點M的坐標為(7,3)或(4,7)或(,).
(3)①當k<0時,如圖所示,過點Q作QN⊥y軸,設點A的坐標為(x,0)該直線與x軸交于正半軸,故x>0
∴OB=4,OA=x
由題意可知:∠QBA=90°,QB=BA
∵∠QNB=∠BOA=∠ABQ=90°
∴∠QBN+∠BQN=90°,∠QBN+∠ABO=90°
∴∠BQN=∠ABO
在△BQN和△ABO中
∴△BQN≌△ABO
∴QN=OB=4,BN=OA=x
∴ON=OB+BN=4+x
在Rt△OQN中,OQ2=ON2+QN2=(4+x)2+42=(x+4)2+16,其中x>0
∴OQ2=(x+4)2+16>16
②當k>0時,如圖所示,過點Q作QN⊥y軸,設點A的坐標為(x,0)該直線與x軸交于負半軸,故x<0
∴OB=4,OA=-x
由題意可知:∠QBA=90°,QB=BA
∵∠QNB=∠BOA=∠ABQ=90°
∴∠QBN+∠BQN=90°,∠QBN+∠ABO=90°
∴∠BQN=∠ABO
在△BQN和△ABO中
∴△BQN≌△ABO
∴QN=OB=4,BN=OA=-x
∴ON=OB-BN=4+x
在Rt△OQN中,OQ2=ON2+QN2=(4+x)2+42=(x+4)2+16,其中x<0
∴OQ2=(x+4)2+16≥16(當x=-4時,取等號)
綜上所述:OQ2的最小值為16
∴OQ的最小值為4.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,直線y=kx+b(k≠0)與拋物線y=ax2(a≠0)交于A,B兩點,且點A的橫坐標是-2,點B的橫坐標是3,則以下結(jié)論:
①拋物線y=ax2(a≠0)的圖象的頂點一定是原點;
②x>0時,直線y=kx+b(k≠0)與拋物線y=ax2(a≠0)的函數(shù)值都隨著x的增大而增大;
③AB的長度可以等于5;
④△OAB有可能成為等邊三角形;
⑤當-3<x<2時,ax2+kx<b,
其中正確的結(jié)論是( )
A. ①②④ B. ①②⑤ C. ②③④ D. ③④⑤
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】人寫字時眼睛和筆端的距離超過30cm時則符合保護視力的要求.圖1是一位同學的坐姿,把她的眼睛B、肘關(guān)節(jié)C和筆端A的位置關(guān)系抽象成圖2的△ABC,BC=30cm,AC=22cm,∠ACB=530,她的這種坐姿符合保護視力的要求嗎?請說明理由.(參考數(shù)據(jù):sin530≈0.8,cos530≈0.6,tan530≈1.3)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩人沿同一路線登山,圖中線段OC、折線OAB分別是甲、乙兩人登山的路程y(米)與登山時間x(分)之間的函數(shù)圖象.請根據(jù)圖象所提供的信息,解答如下問題:
(1)求甲登山的路程與登山時間之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍;
(2)求乙出發(fā)后多長時間追上甲?此時乙所走的路程是多少米?
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【題目】如圖,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°.
(1)當點D在AC上時,如下面圖1,線段BD、CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系?請直接寫出結(jié)論,不需要證明.
(2)將下面圖1中的△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α角(0°<α<90°),如下圖2,上述關(guān)系是否成立?如果成立請說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知△ABC,直線PQ垂直平分AC,與邊AB交于E,連接CE,過點C作CF平行于BA交PQ于點F,連接AF.
(1)求證:△AED≌△CFD;
(2)求證:四邊形AECF是菱形.
(3)若AD=3,AE=5,則菱形AECF的面積是多少?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在菱形ABCD中,P是對角線AC上任一點(不與A,C重合),連接BP,DP,過P作PE∥CD交AD于E,過P作PF∥AD交CD于F,連接EF.
(1)求證:△ABP≌△ADP;
(2)若BP=EF,求證:四邊形EPFD是矩形.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】四邊形是平行四邊形,點在邊上運動(點不與點,重合)
(1)如圖1,當點運動到邊的中點時,連接,若平分,證明:;
(2)如圖2,過點作且交的延長線于點,連接.若,,,在線段上是否存在一點,使得四邊形是菱形?若存在,請說明當發(fā),點分別在線段,上什么位置時四邊形是菱形,并證明;若不存在,請說明理由.
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