Question

如圖，大海中有A和B兩個島嶼，為測量它們之間的距離，在海岸線PQ上點E處測得∠AEP=60°，∠BEQ=45°；在點F處測得∠AFP=45°，∠BFQ=90°，EF=2km．
（1）判斷AB、AE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（2）求兩個島嶼A和B之間的距離（結(jié)果保留根號）．

Answer 1

考點：解直角三角形的應用

專題：幾何圖形問題,數(shù)形結(jié)合,方程思想

分析：（1）根據(jù)SAS即可證明△AEF≌△ABF，得到AB=AE；
（2）作AH⊥PQ，垂足為H．設(shè)AE=x，在直角△AHF，直角△AEP中，利用三角函數(shù)表示出HE與HF，從而可得到關(guān)于x的方程，解方程即可得解．

解答：解：（1）相等．
∵∠BEQ=45°，∠BFQ=90°，
∴∠EBF=∠BEQ=45°，
∴EF=BF，
又∵∠AFP=45°，
∴∠BFA=45°．
在△AEF與△ABF中，

EF=BF ∠AFE=∠AFB AF=AF

，
∴△AEF≌△ABF（SAS），
∴AB=AE；

（2）過點A作AH⊥PQ，垂足為H．
設(shè)AE=xkm，
則AH=xsin60°km，HE=xcos60°km，
∴HF=HE+EF=xcos60°+2，
Rt△AHF中，AH=HF•tan60°，
∴xsin60°=（xcos60°+2）•tan60°，
解得：x=12

3

km
即AB=AE=12

3

km．
答：兩個島嶼A與B之間的距離約為12

3

km．

點評：此題考查了方向角問題．注意能運用了三角函數(shù)，把求線段的問題轉(zhuǎn)化為方程求解的問題是解此題的關(guān)鍵，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應用．