Question

如圖，四邊形ABCD和四邊形A′B′C′D′的對(duì)角線的交點(diǎn)分別是點(diǎn)O、O′，若△AOB∽△A′O′B′，△BOC∽△B′O′C′，△DOA∽△D′O′A′，則四邊形ABCD是否和四邊形A′B′C′D′相似？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：相似多邊形的性質(zhì)

專題：

分析：根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例推出兩個(gè)四邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，再根據(jù)相似多邊形的定義判定即可．

解答：解：四邊形ABCD∽四邊形A′B′C′D′．
理由如下：∵△AOB∽△A′O′B′，
∴

AB

A′B′

=

OA

O′A′

=

OB

O′B′

，∠OAB=∠O′A′B′，∠OBA=∠O′B′A′，
∵△BOC∽△B′O′C′，
∴

BC

B′C′

=

OB

O′B′

=

OC

O′C′

，∠OBC=∠O′B′C′，∠OCB=∠O′C′B′，
∵△DOA∽△D′O′A′，
∴

AD

A′D′

=

OA

O′A′

=

OD

O′D′

，∠OAD=∠O′A′D′，∠ODA=∠O′D′A′，
∴

AB

A′B′

=

BC

B′C′

=

AD

A′D′

=

OA

O′A′

=

OB

O′B′

=

OC

O′C′

=

OD

O′D′

，
∠OAB+∠OAD=∠O′A′B′+∠O′A′D′，
即∠BAD=∠B′A′D′，
又∵∠AOB=∠A′O′B′=∠COD=∠C′O′D′，
∴△COD∽△C′O′D′，
∴

CD

C′D′

=

OC

O′C′

=

OD

O′D′

，∠OCD=∠O′C′D′，∠ODC=∠O′D′C′，
同理可求，∠ABC=∠A′B′C′，∠BCD=∠B′C′D′，∠ADC=∠A′D′C′，
∴

AB

A′B′

=

BC

B′C′

=

AD

A′D′

=

CD

C′D′

，
∠BAD=∠B′A′D′，∠ABC=∠A′B′C′，∠BCD=∠B′C′D′，∠ADC=∠A′D′C′，
∴四邊形ABCD∽四邊形A′B′C′D′．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似多邊形的性質(zhì)和判定，主要利用了相似三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，判定兩個(gè)多邊形是否相似，必須求出對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例．