Question

如圖，BD為Rt△ABC的角平分線，以BC邊上一點O為圓心，過點B、D兩點作⊙O，⊙O分別交BC、AB于E、F兩點．
（1）求證：AC為⊙O的切線；
（2）延長BA到點G，使AB=AG，直線GD交直徑BE于點H，若tan∠C=

3

4

，求

EH

BH

的值．

Answer 1

考點：切線的判定

專題：

分析：（1）如圖，作輔助線，證明OD⊥AC即可解決問題；
（2）如圖，作輔助線，運用勾股定理表示出BC的長度，借助相似三角形表示出BH的長度，進而表示出HE的長度，即可解決問題．

解答：解：（1）如圖，連接OD；
∵∠BAD=90°，
∴∠ABD+∠ADB=90°；
又∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠ADB+∠ODB=90°，
即OD⊥AC，
∴AC為⊙O的切線．
（2）如圖，過點H作HK⊥AC于點K；
∵tan∠C=

3

4

，
∴

AB

AC

=

3

4

；
設(shè)AB=3m，AC=4n；由勾股定理得：
BC²=9m²+16m²=25m²，
∴BC=5m；
∵OD⊥AC，BA⊥AC，
∴AB∥OD，
∴△ABC∽△DOC，
∴

AB

OD

=

BC

OC

，即

3m

r

=

5m

5m-r

，
解得：r=

15

8

m；
∵BD平分∠ABC，
∴

AD

DC

=

AB

BC

=

3

5

，
∴設(shè)AD=3k，DC=5k；
又∵HK∥BG，
∴△ADG∽△KDH，△ABC∽△KHC；
∴

AD

DK

=

AG

HK

，

AB

HK

=

BC

HC

=

AC

KC

，
又∵AB=AG，
∴

AD

DK

=

AC

KC

，
設(shè)KC=μ，則DK=5k-μ，
∴

3k

5k-μ

=

8k

μ

，
解得：μ=

40

11

k，
∴

BC

HC

=

8k

40k 11

=

11

5

，
∴HC=

5

16

×5m=

25

16

m，
∴BH=

55

16

m，HE=

15

4

m-

55

16

m=

5

16

m，

EH

BH

=

5

16

m×

16

55m

=

1

11

，
即

EH

BH

的值為

1

11

．

點評：該題以圓為載體，以考查切線的判定及其應(yīng)用、勾股定理、角平分線的性質(zhì)、相似三角形的判定及其應(yīng)用等幾何知識點為核心構(gòu)造而成；對綜合的分析問題、解決問題的能力提出了較高的要求．