Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)D是AB下方圓上的一點(diǎn)，點(diǎn)C是優(yōu)弧AD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作⊙O的切線(xiàn)BE交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，連接OC，OD，CB，BD．

（1）求證：BD∥OC；

（2）當(dāng)AB＝6時(shí)，完成填空：

①當(dāng)BE＝ 時(shí)，四邊形ODBC是菱形；

②當(dāng)BE＝ 時(shí)，S△BCE＝S△ABC．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）①； ②3

【解析】

（1）連接CD，根據(jù)圓的基本性質(zhì)可得AC＝DC，然后證出≌，可得∠A＝∠ODC，然后根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角性質(zhì)可得∠A＝∠CDB，再推出∠OCD＝∠CDB即可證出結(jié)論；

（2）①根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)可得∠ABE=90°，當(dāng)AB＝6，BE＝時(shí)，利用銳角三角函數(shù)即可求出∠A，從而求出∠COB和∠ODB，根據(jù)等邊三角形的判定定理可證和都是等邊三角形，從而得出BC=OC=OD=BD，即可證出結(jié)論；

②根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)可得∠ABE=90°，當(dāng)AB＝6，BE＝3時(shí)，利用銳角三角函數(shù)即可求出tanA，從而得出，設(shè)BC=x，利用勾股定理求出BC和AC，再利用勾股定理即可求出CE，即可求出CE：AC，然后根據(jù)兩個(gè)三角形等高時(shí)，面積比等于底之比即可得出結(jié)論．

（1）證明：連接CD，

∵點(diǎn)C為優(yōu)弧AD的中點(diǎn)，

∴AC＝DC．

又∵OA＝OD，OC＝OC，

∴≌，

∴∠A＝∠ODC．

又∵∠A與∠CDB都為所對(duì)的圓周角，

∴∠A＝∠CDB，

∴∠ODC＝∠CDB．

∵OD＝OC，

∴∠ODC＝∠OCD，

∴∠OCD＝∠CDB

∴BD∥OC．

（2）解：①當(dāng)BE＝時(shí)，四邊形ODBC是菱形，理由如下

∵BE為⊙O的切線(xiàn)

∴∠ABE=90°

當(dāng)AB＝6，BE＝時(shí)，

∴tanA=

∴∠A=30°

∴∠COB=2∠A=60°，∠ODB=∠ODC＋∠CDB=2∠A=60°

∵OC =OB=OD

∴和都是等邊三角形

∴BC=OC=OD=BD

∴四邊形ODBC是菱形

故答案為：；

②當(dāng)BE＝3時(shí)，S△BCE＝S△ABC，理由如下

∵BE為⊙O的切線(xiàn)

∴∠ABE=90°

當(dāng)AB＝6，BE＝3時(shí)，

∴tanA=

∵AB為直徑

∴∠ACB=90°

∴tanA=

設(shè)BC=x，則AC=2x

∴BC2+AC2=AB2

即x2+（2x）2=62

解得：x=或（不符合實(shí)際，舍去）

∴BC=，AC=

在Rt△BCE中，CE=

∴CE：AC=：=1：4

∴S△BCE：S△ABC=1：4

∴S△BCE＝S△ABC．

故答案為：3 ．