Question

如圖1，已知一次函數(shù)y=-

3

4

x+6分別與x、y軸交于A、B兩點(diǎn)，過點(diǎn)B的直線BC交x軸負(fù)半軸與點(diǎn)C，且OC=

1

2

OB．
（1）求直線BC的函數(shù)表達(dá)式；
（2）如圖2，若△ABC中，∠ACB的平分線CF與∠BAE的平分線AF相交于點(diǎn)F，求證：∠AFC=

1

2

∠ABC；
（3）在x軸上是否存在點(diǎn)P，使△ABP為等腰三角形？若存在，請直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得A、B、C點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得∠FCA=

1

2

∠BCA，∠FAE=

1

2

∠BAE，根據(jù)三角形外角的關(guān)系，可得∠BAE=∠ABC+∠BCA，∠FAE=∠F+∠FCA，根據(jù)等式的性質(zhì)，可得答案；
（3）根據(jù)等腰三角形的定義，分類討論：AB=AP=10，AB=BP=10，BP=AP，根據(jù)線段的和差，可得AB=AP=10時P點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得AB=BP=10時P點(diǎn)坐標(biāo)；根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，可得BP=AP時P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）當(dāng)x=0時，y=6，即B（0，6），當(dāng)y=0時，-

3

4

x+6=0，解得x-8，即A（8，0）；
由OC=

1

2

OB，得OC=3，即C（-3，0）；
設(shè)BC的函數(shù)解析式為，y=kx+b，圖象過點(diǎn)B、C，得

-3k+b=0 b=6

，解得

k=2 b=6

，
直線BC的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=2x+6；
（2）證明：∵∠ACB的平分線CF與∠BAE的平分線AF相交于點(diǎn)F，
∴∠FCA=

1

2

∠BCA，∠FAE=

1

2

∠BAE．
∵∠BAE是△ABC的外角，∠FAE是△FAC的外角，
∴∠BAE=∠ABC+∠BCA，∠FAE=∠F+∠FCA．
∴

1

2

∠ABC+

1

2

∠BCA=∠F+

1

2

∠BCA，

1

2

∠BCA=∠F；
（3）當(dāng)AB=AP=10時，8-10=-2，P₁（-2，0），
8+10=18，P₂（18，0）；
當(dāng)AB=BP=10時，AO=PO=8，即P₃（-8，0）；
設(shè)P（a，0），當(dāng)BP=AP時，平方，得BP²=AP²，即（8-a）²=a²+6²
化簡，得16a=28，解得a=

7

4

，
P₄（

7

4

，0），
綜上所述：P₁（-2，0），P₂（18，0），P₃（-8，0）；P₄（

7

4

，0）．

點(diǎn)評：本題考查了一次函數(shù)綜合題，（1）利用了函數(shù)值與自變量的關(guān)系求出A、B、C的值又利用了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（2）利用了角平分線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，（3）利用了等腰三角形的定義，分類討論是解題關(guān)鍵．