Question

【題目】如圖1，二次函數(shù)y1=（x﹣2）（x﹣4）的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），其對(duì)稱軸l與x軸交于點(diǎn)C，它的頂點(diǎn)為點(diǎn)D．

（1）寫出點(diǎn)D的坐標(biāo) ．
（2）點(diǎn)P在對(duì)稱軸l上，位于點(diǎn)C上方，且CP=2CD，以P為頂點(diǎn)的二次函數(shù)y2=ax2+bx+c（a≠0）的圖象過(guò)點(diǎn)A．
試說(shuō)明二次函數(shù)y2=ax2+bx+c（a≠0）的圖象過(guò)點(diǎn)B；
（3）點(diǎn)R在二次函數(shù)y1=（x﹣2）（x﹣4）的圖象上，到x軸的距離為d，當(dāng)點(diǎn)R的坐標(biāo)為時(shí)，二次函數(shù)y2=ax2+bx+c（a≠0）的圖象上有且只有三個(gè)點(diǎn)到x軸的距離等于2d；
（4）如圖2，已知0＜m＜2，過(guò)點(diǎn)M（0，m）作x軸的平行線，分別交二次函數(shù)y1=（x﹣2）（x﹣4）、y2=ax2+bx+c（a≠0）的圖象于點(diǎn)E、F、G、H（點(diǎn)E、G在對(duì)稱軸l左側(cè)），過(guò)點(diǎn)H作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)N，交二次函數(shù)y1=（x﹣2）（x﹣4）的圖象于點(diǎn)Q，若△GHN∽△EHQ，求實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

【答案】
（1）（3，﹣1）
（2）

解：∵點(diǎn)P在對(duì)稱軸l上，位于點(diǎn)C上方，且CP=2CD，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，2），

∴二次函數(shù)y1=（x﹣2）（x﹣4）與y2=ax2+bx+c的圖象的對(duì)稱軸均為x=3，

∵點(diǎn)A、B關(guān)于直線x=3對(duì)稱，

∴二次函數(shù)y2=ax2+bx+c（a≠0）的圖象過(guò)點(diǎn)B

（3）解：（3﹣ ，1）、（3+ ，1）或（3，﹣1）
（4）

解：（方法一）設(shè)過(guò)點(diǎn)M平行x軸的直線交對(duì)稱軸l于點(diǎn)K，直線l也是二次函數(shù)y2=ax2+bx+c（a≠0）的圖象的對(duì)稱軸．

∵二次函數(shù)y2=ax2+bx+c過(guò)點(diǎn)A、B，且頂點(diǎn)坐標(biāo)為P（3，2），

∴二次函數(shù)y2=﹣2（x﹣2）（x﹣4）．

設(shè)N（n，0），則H（n，﹣2（n﹣2）（n﹣4）），Q（n，（n﹣2）（n﹣4）），

∴HN=2（n﹣2）（n﹣4），QN=（n﹣2）（n﹣4），

∴ =2，即 = ．

∵△GHN∽△EHQ，

∴ ．

∵G、H關(guān)于直線l對(duì)稱，

∴KG=KH= HG，

∴ ．

設(shè)KG=t（t＞0），則G的坐標(biāo)為（3﹣t，m），E的坐標(biāo)為（3﹣2t，m），

由題意得： ，

解得： 或 （舍去）．

故當(dāng)△GHN∽△EHQ，實(shí)數(shù)m的值為1．

（方法二）令y1=x2﹣6x+8=m，

解得：x=3± ，

∴點(diǎn)E（3﹣ ，m）．

∵二次函數(shù)y2=ax2+bx+c過(guò)點(diǎn)A、B，且頂點(diǎn)坐標(biāo)為P（3，2），

∴二次函數(shù)y2=﹣2（x﹣2）（x﹣4）．

令y2=﹣2（x﹣2）（x﹣4）=﹣2x2+12x﹣16=m，

解得：x=3± ，

∴點(diǎn)G（3﹣ ，m），點(diǎn)H（3+ ，m）．

當(dāng)x=3+ 時(shí)，y1=（x﹣2）（x﹣4）=（1+ ）（ ﹣1）=﹣ m，

∴點(diǎn)Q（3+ ，﹣ m）．

HG=xH﹣xG= ，HE=xH﹣xE= + ，HN=yH﹣yN=m，HQ=yH﹣yQ= m，

∵△GHN∽△EHQ，

∴ = = ，

整理得：4﹣2m=m+1，

解得：m=1，

將檢驗(yàn)后可得m=1是方程 = 的解．

故當(dāng)△GHN∽△EHQ，實(shí)數(shù)m的值為1．

【解析】解：（1）∵y1=（x﹣2）（x﹣4）=x2﹣6x+8=（x﹣3）2﹣1，
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，﹣1）．
故答案為：（3，﹣1）．（3）∵二次函數(shù)y2=ax2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)P（3，2），且圖象上有且只有三個(gè)點(diǎn)到x軸的距離等于2d，
∴2d=2，解得：d=1．
令y1=（x﹣2）（x﹣4）=x2﹣6x+8中y1=±1，即x2﹣6x+8=±1，
解得：x1=3﹣ ，x2=3+ ，x3=3，
∴點(diǎn)R的坐標(biāo)為（3﹣ ，1）、（3+ ，1）或（3，﹣1）．
故答案為：（3﹣ ，1）、（3+ ，1）或（3，﹣1）．
（1）利用配方法將二次函數(shù)y1=（x﹣2）（x﹣4）變形為頂點(diǎn)式，由此即可得出結(jié)論；（2）由點(diǎn)P在對(duì)稱軸l上，可得出二次函數(shù)y2=ax2+bx+c的圖象的對(duì)稱軸為直線l，再結(jié)合點(diǎn)A、B關(guān)于對(duì)稱軸l對(duì)稱，二次函數(shù)y2=ax2+bx+c（a≠0）的圖象過(guò)點(diǎn)A，即可得出二次函數(shù)y2=ax2+bx+c（a≠0）的圖象過(guò)點(diǎn)B；（3）由二次函數(shù)y2=ax2+bx+c（a≠0）的圖象上有且只有三個(gè)點(diǎn)到x軸的距離等于2d，即可得出d=1，再令二次函數(shù)y1=（x﹣2）（x﹣4）中y1=±1求出x值，即可得出結(jié)論；（4）（方法一）設(shè)N（n，0），則H（n，﹣2（n﹣2）（n﹣4）），Q（n，（n﹣2）（n﹣4）），由此即可得出 = ，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出 ，再根據(jù)對(duì)稱性可得出 ，設(shè)KG=t（t＞0），則G的坐標(biāo)為（3﹣t，m），E的坐標(biāo)為（3﹣2t，m），由此即可得出關(guān)于m、t的二元一次方程組，解方程組即可求出m值；（方法二）將y=m分別代入y1、y2中求出點(diǎn)E、G、H的坐標(biāo)，再將點(diǎn)H的橫坐標(biāo)代入y1中可得出點(diǎn)N的坐標(biāo)，由此即可得出HG、HE、HN、HQ的長(zhǎng)度，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出關(guān)于m的無(wú)理方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出結(jié)論．