Question

已知反比例函數(shù)圖象過第二象限內(nèi)的點A（-2，m），AB⊥x軸于B，Rt△AOB面積為2，若直線AC經(jīng)過點A，并且經(jīng)過反比例函數(shù)的圖象上另一點C（n，）．
（1）反比例函數(shù)的解析式為______，m=______，n=______；
（2）求直線AC的解析式；
（3）在y軸上是否存在一點P，使△PAO為等腰三角形？若存在，請求出P點坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）∵Rt△AOB面積為2，
∴|k|=4，
則反比例函數(shù)的解析式是：y=-；
把A（-2，m）代入y=-得，m=-=2；
把C（n，）代入y=得：-=-，解得：n=；

（2）設(shè)直線AC的解析式為y=ax+b，由（1）知A（-2，2），C（，-）
∵直線AC經(jīng)過點A、B
∴
解得
∴直線AC的解析式y(tǒng)=x+．

（3）答：存在點P使△PAO為等腰三角形；
∵點A（-2，2），AB=|2|=2，
∴OB=|-2|=2，在Rt△AOB中，OA==2．
①以點O為圓心，以O(shè)A長為半徑畫弧，交y軸于點P₁、P₂，P₁（0，-2），P₂（0，2）．（如圖1）
②以點A為圓心，以O(shè)A長為半徑畫弧，交y軸于點P₃、另一個交點與點O重合．由勾股定理算得P₃（0，4）．（如圖1）
③作OA的垂直平分線l交y軸于P₄，如圖2，
∵AB=OB=2，∠ABO=90°，∴∠BOA=45°，∴∠P₄OA=45°
∵直線l是OA的垂直平分線，∴∠P₄KO=90°，OK=OA．
∴∠KP₄O=45°，OK==，∠P₄OA=∠KP₄O，OK=KP₄=．
∴由勾股定理求得OP₄=2．點P₄（0，2）．
綜上可知：滿足條件的點P的坐標(biāo)分別為：P₁（0，-2），P₂（0，2），P₃（0，4），P₄（0，2）．
分析：（1）根據(jù)反比例函數(shù)式比例系數(shù)k的意義即可求得k的值，然后把A，C的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式即可求得m，n的值；
（2）利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式；
（3）存在點P使△PAO為等腰三角形，分O點、A點和P點是等腰三角形的頂點三種情況進(jìn)行討論，利用勾股定理以及垂直平分線的性質(zhì)即可求解．
點評：本題考查反比例函數(shù)和一次函數(shù)解析式的確定、圖形的面積求法、等腰三角形的判定等知識及綜合應(yīng)用知識、解決問題的能力．要注意（3）在不確定等腰三角形的腰和底的情況下要考慮到所有的情況，不要漏解．