Question

在平面直角坐標(biāo)系中，A（a，0），B（0，b）滿足（a-2）²+

b-4

=0．
（1）求直線AB的解析式；
（2）若點(diǎn)M為直線y=mx上一點(diǎn)，△ABM是以AB為底的等腰直角三角形，求m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可求得a、b，可求得A、B坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得直線AB的解析式；
（2）根據(jù)A、B坐標(biāo)，可求出AB及AB中點(diǎn)的C坐標(biāo)，設(shè)M坐標(biāo)為（x，mx），則MC=

1

2

AB，且M點(diǎn)在線段AB的垂直平分線上，可求得垂直平分線的方程，則可求得M的值．

解答：解：
（1）∵（a-2）²+

b-4

=0，
∴a=2，b=4，
∴A（2，0），B（0，4），
設(shè)直線AB解析式為y=kx+b，把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入可得

0=2k+b b=4

，
解得

k=-2 b=4

，
∴直線AB的解析式為y=-2x+4；
（2）∵A（2，0），B（0，4），
∴線段AB的中點(diǎn)C為（1，2），AB=2

5

，
∵直線AB解析式為y=-2x+4，
∴可設(shè)線段AB垂直平分線的解析式為y=

1

2

x+m，
把C點(diǎn)坐標(biāo)代入可得b=

3

2

，
∴線段AB的垂直平分線為y=

1

2

x+

3

2

，
當(dāng)△ABM是以AB為底的等腰直角三角形時(shí)，可知MC=

1

2

AB=

5

，
∵M(jìn)在直線y=mx上，
∴設(shè)M坐標(biāo)為（x，mx），
∴MC=

(x-1)2+(mx-2)2

=

5

，
又M在線段AB的垂直平分線上，
∴mx=

1

2

x+

3

2

，
代入上式，整理可得（x-1）²=4，
解得x=3或x=-1，
當(dāng)x=3時(shí)，y=

1

2

×3+

3

2

=3，此時(shí)點(diǎn)M坐標(biāo)為（3，3），代入y=mx可求得m=1，
當(dāng)x=-1時(shí)，y=

1

2

×（-1）+

3

2

=1，此時(shí)點(diǎn)M坐標(biāo)為（-1，1），代入y=mx可求得m=-1，
綜上可知m為1或-1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式和等腰直角三角形的性質(zhì)、垂直平分線的方程、直線的交點(diǎn)等知識(shí)的綜合應(yīng)用．在（1）中掌握非負(fù)數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，在（2）中確定出M點(diǎn)所在的直線是解題的關(guān)鍵．注意方程思想和勾股定理的應(yīng)用，難度適中，綜合性較強(qiáng)．