Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（a，0），B（0，b）且a，b滿足，

點(diǎn)P在線段AB上（含端點(diǎn)）的一點(diǎn)，連接OP。

（1）若AB=，且△OBP是以OB為腰長(zhǎng)的等腰三角形，求BP的長(zhǎng)；

（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)A作AQ⊥x軸（Q在x軸上方），且滿足∠OPQ=90°，求證：OP=PQ；

（3）如圖2，C,D分別為OA,OB上的兩點(diǎn)，且OC=OD，點(diǎn)P滿足OP⊥AD，過(guò)點(diǎn)P作

PE⊥BC交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，試探究AE,OP,PE之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明。

Answer 1

【答案】（1）6或 （2）證明見解析 （3）答案見解析

【解析】

（1）根據(jù)已知求出A與B點(diǎn)的坐標(biāo)，分別討論當(dāng)OB=OP=6時(shí)，當(dāng)OB=BP時(shí)求出BP即可；

（2）過(guò)點(diǎn)P作PNOA，過(guò)點(diǎn)P作PMAQ交延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，通過(guò)證明四邊形PNAM為矩形得出PM=AN，再求出，根據(jù)得出90°，再證明PNOPMQ即可證明OP=PQ；

（3）過(guò)點(diǎn)A作AQX軸與EP延長(zhǎng)線交于點(diǎn)Q，證明BOCAOD，則有，根據(jù)兩銳角互余證明，根據(jù)平行得出角相等，則，證明AOPAQP，得出OP=PQ，則可證AE=PE+OP.

解：A（a，0），B（0，b）且a，b滿足

∴

則

∴a=6,b=6

故A（6，0），B（0，6）

（1）當(dāng)OB=OP=6時(shí)，

∴此時(shí)P點(diǎn)與A點(diǎn)重合，即BP=AB=

當(dāng)OB=BP時(shí)，即BP=6

∴BP=6或；

（2）過(guò)點(diǎn)P作PNOA，過(guò)點(diǎn)P作PMAQ交延長(zhǎng)線于點(diǎn)M

軸，PMAM

°

∴四邊形PNAM為矩形，即PM=AN

又

∴為等腰直角三角形，即45°

∴為等腰直角三角形，即

∴

°

∴90°

又

在PNO和PMQ中

∴PNOPMQ

∴OP=PQ；

（3）AE=PE+OP，理由如下：

過(guò)點(diǎn)A作AQX軸與EP延長(zhǎng)線交于點(diǎn)Q

在BOC和AOD中

∴BOCAOD

∴

令

∴

故

軸

∴

在AOP和AQP中

∴AOPAQP

∴OP=PQ

∴AE=PE+OP