Question

【題目】已知等邊△ABC邊長(zhǎng)為8cm，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在射線(xiàn)BD上運(yùn)動(dòng)，以AE為邊在AE右側(cè)作等邊△AEF，作射線(xiàn)CF交射線(xiàn)BD于點(diǎn)M，連接AM．

（1）當(dāng)點(diǎn)E在線(xiàn)段BD（不包括端點(diǎn)B，D）上時(shí)，求證：BE＝CF；

（2）求證：MA平分∠BMN；

（3）連接DF，點(diǎn)E在移動(dòng)過(guò)程中，線(xiàn)段DF長(zhǎng)的最小值等于　 （直接寫(xiě)出結(jié)果）

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）DF最小值為2cm．

【解析】

（1）欲證明BE＝CF，只要證明△BAE≌△CAF（SAS）即可；

（2）首先證明∠BCM＝90°，然后可得∠AMD＝∠CMD＝60°，求出∠AMN＝60°即可；

（3）作DH⊥CN于H，根據(jù)點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡是射線(xiàn)CN可知，當(dāng)點(diǎn)F與H重合時(shí)，DF的長(zhǎng)最小，然后利用含30°直角三角形的性質(zhì)求出DH即可．

（1）證明：∵△ABC，△AEF都是等邊三角形，

∴AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF，

∴∠BAE＝∠CAF，

∴△BAE≌△CAF（SAS），

∴BE＝CF；

（2）證明：∵△ABC是等邊三角形，AD＝DC，

∴BD⊥AC，∠ACB＝∠ABC＝∠BAC＝60°，

∴∠ABE＝∠CBE＝30°，MA＝MC，

∵△BAE≌△CAF，

∴∠ABE＝∠ACF＝30°，

∴∠BCM＝90°，

∴∠BMC＝90°﹣30°＝60°，

∵MA＝MC，MB⊥AC，

∴∠AMD＝∠CMD＝60°，

∴∠AMN＝60°，

∴∠AMN＝∠AMD，

∴AM平分∠BMN．

（3）解：如圖，作DH⊥CN于H．

∵∠BCN＝90°，

∴點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡是射線(xiàn)CN，

根據(jù)垂線(xiàn)段最短可知，當(dāng)點(diǎn)F與H重合時(shí)，DF的長(zhǎng)最小，

∵CD＝AD＝4cm，∠DCH＝30°，∠DHC＝90°，

∴DH＝CD＝2cm，

∴DF最小值為2cm．

故答案為2cm．