Question

如圖，平行四邊形ABCD中，AB=3，BC=5，∠B=60°，G是CD的中點，E是邊AD上的動點，EG的延長線與BC的延長線交于點F．
（1）求證：四邊形CEDF是平行四邊形；
（2）①當AE=

 

時，四邊形CEDF是矩形；
②當AE=

 

時，四邊形CEDF是菱形．

Answer 1

考點：平行四邊形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),菱形的判定,矩形的判定

專題：

分析：（1）證△CFG≌△EDG，推出FG=EG，根據(jù)平行四邊形的判定推出即可；
（2）①求出△MBA≌△EDC，推出∠CED=∠AMB=90°，根據(jù)矩形的判定推出即可；
②求出△CDE是等邊三角形，推出CE=DE，根據(jù)菱形的判定推出即可．

解答：（1）證明：四邊形ABCD是平行四邊形，
∴CF∥ED，
∴∠FCD=∠GCD，
又∠CGF=∠EGD．
G是CD的中點，
CG=DG，
在△FCG和△EDG中，

∠FCG=∠EDG CG=DG ∠CGF=∠DGE

∴△CFG≌△EDG（ASA），
∴FG=EG，
∵CG=DG，
∴四邊形CEDF是平行四邊形；

（2）①解：當AE=3.5時，平行四邊形CEDF是矩形，
理由是：過A作AM⊥BC于M，
∵∠B=60°，AB=3，
∴BM=1.5，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠CDA=∠B=60°，DC=AB=3，BC=AD=5，
∵AE=3.5，
∴DE=1.5=BM，
在△MBA和△EDC中，

BM=DE ∠B=∠CDA AB=CD

∴△MBA≌△EDC（SAS），
∴∠CED=∠AMB=90°，
∵四邊形CEDF是平行四邊形，
∴四邊形CEDF是矩形，
故答案為：3.5；

②當AE=2時，四邊形CEDF是菱形，
理由是：∵AD=5，AE=2，
∴DE=3，
∵CD=3，∠CDE=60°，
∴△CDE是等邊三角形，
∴CE=DE，
∵四邊形CEDF是平行四邊形，
∴四邊形CEDF是菱形，
故答案為：2．

點評：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，菱形的判定，矩形的判定，等邊三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，注意：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，有一個角是直角的平行四邊形是矩形．