Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AC垂直平分BD，交BD于點F，延長DC到點E，使得CE=DC，連接BE.

（1）求證：四邊形ABCD是菱形.

（2）填空：

①當(dāng)∠ADC= °時，四邊形ACEB為菱形；

②當(dāng)∠ADC=90°，BE=4時，則DE=

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①60 ；②.

【解析】

（1）由“有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”證得四邊形ABCD為平行四邊形，再由“鄰邊相等的平行四邊形是菱形”證得四邊形ABCD是菱形.

（2）①由“有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”證得四邊形ABEC為平行四邊形，再由“鄰邊相等的平行四邊形是菱形”證得四邊形ABEC是菱形，則CA=AD=DC，此時三角形ADC為等邊三角形，∠ADC=60°；②當(dāng)∠ADC=90°時，四邊形ABCD為正方形，三角形BCE為等腰直角三角形，因為BE=4，所以由勾股定理得CE= ，.

解：（1）證明：∵AC垂直平分BD，∴AB=AD ，BF=DF，

∵AB∥CD,∴∠ABD=∠CDB.

∵∠AFB=∠CFD,∴△AFB≌△CFD （ASA），

∴AB=CD.又∵AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形 .

∵AB=AD，∴平行四邊形ABCD是菱形 .

（2）①∵由（1）得：四邊形ABCD是菱形，

∴AB=CD,AB//CD,

∵CE是CD的延長線，且CE=CD，

∴由“有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”證得四邊形ABEC為平行四邊形

∵假設(shè)四邊形ACEB為菱形，∴AC=CE

∵已知AD=DC，∴AC=DC=AD,即三角形ADC為等邊三角形，∴

②∵由（1）得：四邊形ABCD是菱形，且∠ADC=90°

∴四邊形ABCD為正方形，三角形BCE為直角三角形，

∵CE=CD，∴由勾股定理得CE= ，.