【答案】
分析:(1)根據(jù)拋物線的頂點式解析式可得出P的坐標(biāo)為(2,-1).
(2)如果△APB是等腰直角三角形,那么根據(jù)P的縱坐標(biāo)不難得出AB=2,根據(jù)對稱軸x=2可得出A,B的坐標(biāo)分別為(1,0)(3,0).然后可根據(jù)A,B的坐標(biāo)用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式.也就能得出a的值和C點的坐標(biāo).
求D點坐標(biāo)時,可根據(jù)∠ABP=45°,即三角形OBD是等腰直角三角形來解.此時OB=OD,B點的橫坐標(biāo)的絕對值就是D點的縱坐標(biāo)的絕對值,由此可得出D的坐標(biāo).
(3)當(dāng)旋轉(zhuǎn)后A在C′D′上時,E點和O重合此時b=0;當(dāng)旋轉(zhuǎn)后A在B′D′上時,此時可求得OE=1,即b=-1.因此可分三種情況進行討論:
①當(dāng)0≤b<3時,旋轉(zhuǎn)后的△B′C′D′與△ACD的重疊部分是個三角形,如果設(shè)C′D′與AC交于M,那么重疊部分就是△CEM的面積.可先求出EM的長,然后再根據(jù)三角形的面積公式得出S,b的函數(shù)關(guān)系式.
②當(dāng)-1<b<0時,旋轉(zhuǎn)后的△B′C′D′與△ACD的重疊部分是五邊形,由于五邊形不是規(guī)則的圖形,因此可先根據(jù)AC,D′B′,AD的直線的解析式求出旋轉(zhuǎn)后得出的三角形與ACD的各邊的交點的坐標(biāo),然后根據(jù)其他規(guī)則圖形的面積的“和,差”關(guān)系來求出五邊形的面積,即可得出S,b的函數(shù)關(guān)系式.
③當(dāng)-3<b≤-1時,旋轉(zhuǎn)后的△B′C′D′與△ACD的重疊部分為四邊形,可仿照②的解法求出此時S,b的函數(shù)關(guān)系式.
綜上所述可得出b的不同取值范圍內(nèi),S,b的函數(shù)關(guān)系式,然后根據(jù)得出的函數(shù)的性質(zhì)即可得出S的最大值.
解答:解:(1)P(2,-1)
(2)因為△APB為等腰直角三角形,P點坐標(biāo)為(2,-1)
所以AB=2,
所以A(1,0),B(3,0)
將A點坐標(biāo)代入二次函數(shù)y=a(x-2)
2-1得:
0=a(1-2)
2-1,
所以a=1
所以二次函數(shù)為:y=x
2-4x+3
所以C(0,3),
所以O(shè)C=OB,∠OBC=45°
又因為∠ABP=45°,
所以∠CBD=90°,∠BCO=45°,
所以△BCD為等腰直角三角形,
所以D(0,-3);
(3)①當(dāng)0≤b<3時,旋轉(zhuǎn)后的△B′C′D′與△ACD的重疊部分為△CEM.
因為CE=C’E,
所以C點恰好在直線B′C′上,
CE=3-b,AC直線方程為:y=3-3x,
E(0,b)所以EM=
所以重疊部分△CEM的面積為:
S=
×(3-b)×
=
(0≤b<3);
②當(dāng)-1<b<0時,旋轉(zhuǎn)后的△B′C′D′與△ACD的重疊部分為五邊形EMANQ,
因為ED=ED′=EQ,
所以D’點恰好在直線BD上,DE=EQ=3+b,
所以Q(0,3+2b),D′(3+b,b),
CQ=3-(3+2b)=-2b,
AC直線方程為:y=3-3x,
AD直線方程為:y=3x-3,
D’Q直線方程為:y=3+2b-x,
所以EM=
,N(-b,3+3b)
所以重疊部分五邊形EMANQ的面積為:
S=S
△ACD-S
△CQN-S
△EMD=
×6×1-
×(-2b)×(-b)-
×(3+b)×
=
(-1<b<0);
③當(dāng)-3<b≤-1時,旋轉(zhuǎn)后的△B’C’D’與△ACD的重疊部分為四邊形EMNQ;
因為ED=ED’=EQ,
所以D′點恰好在直線BD上,DE=EQ=3+b,
所以Q(0,3+2b),D′(3+b,b),
DQ=(3+2b)-(-3)=6+2b,
AD直線方程為:y=3x-3,
D′Q直線方程為:y=3+2b-x,
所以EM=
,N(
,
),
所以重疊部分四邊形EMNQ的面積為:
S=S
△DNQ-S
△EMD=
-
=
(-3<b≤1),
所以重疊部分的面積為:
,
當(dāng)0≤b<3時,b=0時,S最大,且S最大=
,
當(dāng)-1<b<0時,S=
=-
,
b=-
時,S最大,且S最大=
,
當(dāng)-3<b≤-1時,b=-1時,S最大,且S最大=
,
綜上所述:當(dāng)b=-
時,S最大=
.
點評:本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、圖形旋轉(zhuǎn)變換等重要知識點,綜合性強,能力要求較高.考查學(xué)生分類討論,數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.