Question

如圖，將含有30°的Rt△AMF水平放置，將△AMF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△AM₁F₁，AF₁交FM于點(diǎn)K，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為β（0°＜β＜90°）．
（1）當(dāng)△AFK為等腰三角形時(shí)，旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為

 

；
（2）連接FF₁，當(dāng)△FKF₁為等腰三角形時(shí)，你能求出△FKF₁各內(nèi)角的度數(shù)嗎？

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),等腰三角形的判定

專題：計(jì)算題

分析：（1）由于△AFK為等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠FAK=∠AFM=30°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠F₁AF等于旋轉(zhuǎn)角，于是得到旋轉(zhuǎn)角為30°；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AF₁=AF，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠AFF₁=∠AF₁F，然后分類討論：當(dāng)FF₁=FK時(shí)，則∠FKF₁=∠FF₁K，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠FKF₁=β+30°，則∠FF₁K=β+30°，所以∠AFF₁=β+30°，則∠KFF₁=β，在△KFF₁中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可計(jì)算出β=40°，于是得到∠KFF₁=40°，∠FKF₁=70°，∠FF₁K=70°；當(dāng)F₁F=F₁K時(shí)，則∠FKF₁=∠F₁FK=30°+β，則∠AFF₁=∠AF₁F=30°+30°+β=60°+β，在△KFF₁中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可計(jì)算出β=20°，易得∠KFF₁=50°，∠FKF₁=50°，∠FF₁K=80°．

解答：解：（1）∵∠AFM=30°，
而△AFK為等腰三角形，
∴∠FAK=∠AFM=30°，
∵△AMF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△AM₁F₁，
∴∠F₁AF等于旋轉(zhuǎn)角，即旋轉(zhuǎn)角為30°；
故答案為30°；
（2）∵△AMF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△AM₁F₁，
∴AF₁=AF，
∴∠AFF₁=∠AF₁F，
當(dāng)FF₁=FK時(shí)，則∠FKF₁=∠FF₁K，
∵∠FKF₁=β+30°，
∴∠FF₁K=β+30°，
∴∠AFF₁=β+30°，
∴∠KFF₁=β，
在△KFF₁中，30°+β+30°+β+β=180°，解得β=40°，
∴∠KFF₁=40°，∠FKF₁=70°，∠FF₁K=70°；
當(dāng)F₁F=F₁K時(shí)，則∠FKF₁=∠F₁FK=30°+β，
∴∠AFF₁=∠AF₁F=30°+30°+β=60°+β，
在△KFF₁中，60°+β+30°+β+30°+β=180°，解得β=20°，
∴∠KFF₁=50°，∠FKF₁=50°，∠FF₁K=80°，
綜上所述，△FKF₁各內(nèi)角的度數(shù)分別為40°、70°、70°或50°、50°、80°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了等腰三角形的性質(zhì)．