Question

如圖，矩形OABC的頂點O在坐標原點，頂點A、C分別在x軸、y軸的正半軸上，OA=3，OC=4，D為邊OC的中點，E、F為邊OA上的兩個動點，且EF=2，當四邊形BDEF的周長最小時，點E的坐標為

 

．

Answer 1

考點：軸對稱-最短路線問題,坐標與圖形性質(zhì)

專題：

分析：由于DB、EF的長為定值，如果四邊形BDEF的周長最小，即DE+FB有最小值．為此，作點D關(guān)于x軸的對稱點D'，在CB邊上截取BG=2，當點E在線段D′G上時，四邊形BDEF的周長最小．

解答：解：如圖，
作點D關(guān)于x軸的對稱點D'，在CB邊上截取BG=2，連接D'G與x軸交于點E，在EA上截取EF=2，
∵GB∥EF，GB=EF，
∴四邊形GEFB為平行四邊形，有GE=BF．
又DB、EF的長為定值，
∴此時得到的點E、F使四邊形BDEF的周長最小，
∵OE∥BC，
∴Rt△D'OE∽Rt△D'CG，有

OE

CG

=

D′O

D′C

，
∴OE=

D′O•CG

D′C

=

2×1

6

=

1

3

，
∴點E的坐標為（

1

3

，0）．
故答案為：（

1

3

，0）．

點評：此題主要考查軸對稱--最短路線問題，解決此類問題，一般都是運用軸對稱的性質(zhì)，將求折線問題轉(zhuǎn)化為求線段問題，其說明最短的依據(jù)是三角形兩邊之和大于第三邊．