Question

已知：如圖，AB是⊙O的直徑，⊙O過(guò)BC的中點(diǎn)D，且DE⊥AC于點(diǎn)E．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若∠C=30°，CD=12，求⊙O的直徑．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定

專題：

分析：（1）連接OD，只要證明OD⊥DE即可．此題可運(yùn)用三角形的中位線定理證OD∥AC，因?yàn)镈E⊥AC，所以O(shè)D⊥DE．
（2）連接AD，得出∠ADB=∠ADC=90°，解直角三角形求出AD，求出∠B=∠ODB=∠C=30°，根據(jù)含30度角的直角三角形性質(zhì)求出即可．

解答：（1）證明：連接OD．
∵D是BC的中點(diǎn)，O是AB的中點(diǎn)，
∴OD∥AC，
∴∠CED=∠ODE，
∵DE⊥AC，
∴∠CED=∠ODE=90°，
∴OD⊥DE，OD是圓的半徑，
∴DE是⊙O的切線．

（2）解：連接AD，
∵AB是⊙O直徑，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵CD=12，∠C=30°，
∴AD=CD×tan30°=12×

3

3

=4

3

，
∵OD∥AC，
∴∠ODB=∠C=30°，
∵OD=OB，
∴∠B=∠ODB=30°，
∵在Rt△ADB中，∠ADB=90°，∠B=30°，AD=4

3

，
∴AB=2AD=8

3

，
即⊙O的直徑是8

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定，含30度角的直角三角形性質(zhì)，平行線的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，注意：要證某線是圓的切線，已知此線過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．