Question

已知三個不同的實(shí)數(shù)a，b，c滿足a-b+c=3，方程x²+ax+1=0和x²+bx+c=0有一個相同的實(shí)根，方程x²+x+a=0和x²+cx+b=0也有一個相同的實(shí)根．求a，b，c的值．

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次方程的解

專題：壓軸題

分析：將題設(shè)中所給的四個方程編號為①，②，③，④．設(shè)x₁是方程①和方程②的一個相同的實(shí)根，x₂是方程③和方程④的一個相同的實(shí)根，得到關(guān)于x₁與x₂的解析式，進(jìn)而求出a的值，再求出b、c的值即可解答．

解答：解：依次將題設(shè)中所給的四個方程編號為①，②，③，④．
設(shè)x₁是方程①和方程②的一個相同的實(shí)根，則

x 2 1 +ax1+1=0 x 2 1 +bx1+c=0

兩式相減，可解得x1=

c-1

a-b

．（5分）
設(shè)x₂是方程③和方程④的一個相同的實(shí)根，則

x 2 2 +x2+a=0 x 2 2 +cx2+b=0

兩式相減，可解得x 2=

a-b

c-1

．
所以x₁x₂=1．（10分）
又∵方程①的兩根之積等于1，于是x₂也是方程①的根，
則x₂²+ax₂+1=0．
又∵x₂²+x₂+a=0，兩式相減，得（a-1）x₂=a-1．（15分）
若a=1，則方程①無實(shí)根，
所以a≠1，故x₂=1．
于是a=-2，b+c=-1．又a-b+c=3，
解得b=-3，c=2．（20分）

點(diǎn)評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）的解．同時(shí)考查了從結(jié)論的反面思考問題的方法和代數(shù)式的變形能力．