Question

如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)P在⊙O上，∠1=∠C，
（1）求證：CB∥PD；
（2）若BC=3，∠C=30°，求⊙O的直徑．

Answer 1

考點(diǎn)：圓周角定理,垂徑定理

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)圓周角定理得∠P=∠C，而∠1=∠C，則∠1=∠P，于是根據(jù)平行線的判定即可得到CB∥PB；
（2）解：連結(jié)OC，如圖，有（1）得∠1=∠P=30°，再根據(jù)垂徑定理得到

BC

=

BD

，則利用圓周角定理得∠BOC=2∠P=60°，于是可判斷△BOC為等邊三角形，所以O(shè)B=BC=3，
易得⊙O的直徑為6．

解答：（1）證明：∵∠P=∠C，
而∠1=∠C，
∴∠1=∠P，
∴CB∥PB；
（2）解：連結(jié)OC，如圖，
∵∠1=30°，
∴∠P=30°，
∵CD⊥AB，
∴

BC

=

BD

，
∴∠BOC=2∠P=60°，
∴△BOC為等邊三角形，
∴OB=BC=3，
∴⊙O的直徑為6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑．也考查了垂徑定理．