Question

如圖，⊙O中，FG、AC是直徑，AB是弦，FG⊥AB，垂足為點P，過點C的直線交AB的延長線于點D，交GF的延長線于點E，已知AB＝4，⊙O的半徑為．

（1）分別求出線段AP、CB的長；

（2）如果OE＝5，求證：DE是⊙O的切線；

（3）如果tan∠E＝，求DE的長．

Answer 1

（1）解：∵AC為直徑，  ∴∠ABC＝90°，

在Rt△ABC中，AC＝2，AB＝4，

∴BC＝＝2，∵直徑FG⊥AB， ∴AP＝BP＝AB＝2；…………3分

（2）證明：∵AP＝BP，∴OP為△ABC的中位線，∴OP＝BC＝1，∴＝，

而＝＝，∴＝，

∵∠EOC＝∠AOP，∴△EOC∽△AOP，

∴∠OCE＝∠OPA＝90°，∴OC⊥DE，∴DE是⊙O的切線；…………3分

（3）解：∵BC∥EP，∴∠DCB＝∠E，∴tan∠DCB＝tan∠E＝

在Rt△BCD中，BC＝2，tan∠DCB＝＝，

∴BD＝3，∴CD＝＝，

∵BC∥EP，∴＝，即＝，∴DE＝  _{……………4分}