Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，BC=5米，AB=10米．M點(diǎn)在線段CA上，從C向A運(yùn)動(dòng)，速度為1米/秒；同時(shí)N點(diǎn)在線段AB上，從A向B運(yùn)動(dòng)，速度為2米/秒．運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，△AMN的面積為6米？
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△AMN的面積最大？并求出這個(gè)最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次方程的應(yīng)用,配方法的應(yīng)用

專題：幾何動(dòng)點(diǎn)問題

分析：（1）作NH⊥AC于H，證得△ANH∽△ABC，從而得到比例式，然后用t表示出NH，根據(jù)△AMN的面積為6米，得到關(guān)于t的方程求得t值即可；
（2）根據(jù)三角形的面積計(jì)算得到有關(guān)t的二次函數(shù)求最值即可．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，
∵AB²=BC²+AC²
∴AB=5

3

米
如圖，作NH⊥AC于H，
∴∠NHA=∠C=90°，
∵∠A是公共角，
∴△NHA∽△BCA
∴

AN

AB

=

NH

BC

，
即：

2t

10

=

NH

5

，
∴NH=t，
∴S_△AMN=

1

2

t（5

3

-t）=6，
解得t₁=

3

，t₂=4

3

（舍去），
故當(dāng)t為

3

秒時(shí)，△AMN的面積為6米，

（2）

1

2

t（5

3

-t）=-

1

2

（t²-5

3

t+

75

4

）+

75

2

=-

1

2

（t-

5 3

2

^）2+

75

2

，
∴當(dāng)t=

5 3

2

時(shí)，S最大值=

75

2

平方米．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)證得的相似三角形得到比例式，從而求解．