Question

因式分解：
（1）x⁴+y⁴+z⁴-2x²y²-2y²z²-2x²z²
（2）x⁷+x⁵+1
（3）（x+y-2xy）（x+y-2）+（xy-1）²．

Answer 1

考點：因式分解

專題：

分析：（1）先運用分組分解法將原式變形為x⁴-2x²y²+y⁴-2y²z²-2z²x²+z⁴，然后變形為（x²-y²）²-2z²（x²+y²）+z⁴，再運用完全平方公式和平方差公式分解就可以求出結論；
（2）首先把因式添項x⁶再減去x⁶，然后因式分解，再提取公因式即可；
（3）設x+y=a，xy=b，將式子變形為（a-2b）（a-2）+（b-1）²，再去括號，合并同類項進行因式分解即可．

解答：解：（1）x⁴+y⁴+z⁴-2x²y²-2y²z²-2x²z²
=x⁴-2x²y²+y⁴-2y²z²-2z²x²+z⁴
=（x²-y²）²-2z²（x²+y²）+z⁴
=（x²-y²）²-2z²（x²-y²）+z⁴-4z²y²
=（x²-y²-z²）²-4z²y²
=（x²-y²-z²-2yz）（x²-y²-z²+2yz）
=[x²-（y+z）²][x²-（y-z）²]
=（x+y+z）（x-y-z）（x+y-z）（x-y+z）；

（2）x⁷+x⁵+1
=x⁷+x⁶+x⁵-x⁶+1
=x⁵（x²+x+1）-（x³+1）（x³-1）
=（x²+x+1）[x⁵-（x-1）（x³+1）]
=（x²+x+1）（x⁵-x⁴+x³-x+1）；

（3）設x+y=a，xy=b，
則（x+y-2xy）（x+y-2）+（xy-1）²
=（a-2b）（a-2）+（b-1）²
=a²-2ab-2a+4b+b²-2b+1
=a²-2ab-2a+b²+2b+1
=a²-2ab+b²-2a+2b+1
=（a-b）²-2（a-b）+1
=（a-b-1）²
=（x+y-xy-1）²
=[（x-1）（1-y）]²．

點評：（1）考查了分組分解法的運用，完全平方公式的運用，平方差公式的運用，解答時正確分組和靈活運用公式法求解是關鍵．
（2）解答本題的關鍵是熟練運用拆項和添項解決問題的方法，此題難度較大．
（3）關鍵是運用換元法進行因式分解．