Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c關于y軸對稱，它的頂點在坐標原點O，點B（2，-

4

3

）和點C（-3，-3）兩點均在拋物線上，點F（0，-

3

4

）在y軸上，過點（0，

3

4

）作直線l與x軸平行．
（1）求拋物線的解析式和線段BC的解析式．
（2）設點D（x，y）是線段BC上的一個動點（點D不與B，C重合），過點D作x軸的垂線，與拋物線交于點G．設線段GD的長度為h，求h與x之間的函數(shù)關系式，并求出當x為何值時，線段GD的長度h最大，最大長度h的值是多少？
（3）若點P（m，n）是拋物線上位于第三象限的一個動點，連接PF并延長，交拋物線于另一點Q，過點Q作QS⊥l，垂足為點S，過點P作PN⊥l，垂足為點N，試判斷△FNS的形狀，并說明理由；
（4）若點A（-2，t）在線段BC上，點M為拋物線上的一個動點，連接AF，當點M在何位置時，MF+MA的值最小，請直接寫出此時點M的坐標與MF+MA的最小值．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題,二次根式的性質與化簡,待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式,二次函數(shù)的最值,待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,線段的性質：兩點之間線段最短

專題：代數(shù)幾何綜合題,壓軸題

分析：（1）由于拋物線的頂點在坐標原點O，故拋物線的解析式可設為y=ax²，把點C的坐標代入即可求出拋物線的解析式；設直線BC的解析式為y=mx+n，把點B、C的坐標代入即可求出直線BC的解析式．
（2）由點D（x，y）在線段BC上可得y_D=

1

3

x-2，由點G在拋物線y=-

1

3

x²上可得y_G=-

1

3

x²．由h=DG=y_G-y_D=-

1

3

x²-（

1

3

x-2）配方可得h=-

1

3

（x+

1

2

）²+

25

12

．根據(jù)二次函數(shù)的最值性即可解決問題．
（3）可以證明PF=PN，結合PN∥OF可推出∠PFN=∠OFN；同理可得∠QFS=∠OFS．由∠PFN+∠OFN+∠OFS+∠QFS=180°可推出∠NFS=90°，故△NFS是直角三角形．
（4）過點M作MH⊥l，垂足為H，如圖4，由（3）中推出的結論PF=PN可得：拋物線y=-

1

3

x²上的點到點F（0，-

3

4

）的距離與到直線y=

3

4

的距離相等，從而有MF=MH，則MA+MF=MA+MH．由兩點之間線段最短可得：當A、M、H三點共線（即AM⊥l）時，MA+MH（即MA+MF）最小，此時x_M=x_A=-2，從而可以求出點M及點A的坐標，就可求出MF+MA的最小值．

解答：解：（1）如圖1，
∵拋物線y=ax²+bx+c關于y軸對稱，它的頂點在坐標原點O，
∴拋物線解析式為y=ax²．
∵點C（-3，-3）在拋物線y=ax²上，
∴.9a=-3．
∴a=-

1

3

．
∴拋物線的解析式為y=-

1

3

x²．
設直線BC的解析式為y=mx+n．
∵B（2，-

4

3

）、C（-3，-3）在直線y=mx+n上，
∴

2m+n=- 4 3 -3m+n=-3

．
解得：

m= 1 3 n=-2

．
∴直線BC的解析式為y=

1

3

x-2．
（2）如圖2，
∵點D（x，y）是線段BC上的一個動點（點D不與B，C重合），
∴y_D=

1

3

x-2，且-3＜x＜2．
∵DG⊥x軸，
∴x_G=x_D=x．
∵點G在拋物線y=-

1

3

x²上，
∴y_G=-

1

3

x²．
∴h=DG=y_G-y_D
=-

1

3

x²-（

1

3

x-2）
=-

1

3

x²-

1

3

x+2
=-

1

3

（x²+x）+2
=-

1

3

（x²+x+

1

4

-

1

4

）+2
=-

1

3

（x+

1

2

）²+

1

12

+2
=-

1

3

（x+

1

2

）²+

25

12

．
∵-

1

3

＜0，-3＜-

1

2

＜2，
∴當x=-

1

2

時，h取到最大值，最大值為

25

12

．
∴h與x之間的函數(shù)關系式為h=-

1

3

（x+

1

2

）²+

25

12

，其中-3＜x＜2；
當x=-

1

2

時，線段GD的長度h最大，最大長度h的值是

25

12

．
（3）△FNS是直角三角形．
證明：過點F作FT⊥PN，垂足為T，如圖3，
∵點P（m，n）是拋物線y=-

1

3

x²上位于第三象限的一個動點，
∴n=-

1

3

m²．m＜0，n＜0．
∴m²=-3n．
在Rt△PTF中，
∵PT=-

3

4

-n，F(xiàn)T=-m，
∴PF=

PT2+FT2

=

(- 3 4 -n)2+(-m)2

=

( 3 4 +n)2-3n

=

( 3 4 -n)2

=

3

4

-n．
∵PN⊥l，且l是過點（0，

3

4

）平行于x軸的直線，
∴PN=

3

4

-n．
∴PF=PN．
∴∠PNF=∠PFN．
∵PN⊥l，OF⊥l，
∴PN∥OF．
∴∠PNF=∠OFN．
∴∠PFN=∠OFN．
同理可得：∠QFS=∠OFS．
∵∠PFN+∠OFN+∠OFS+∠QFS=180°，
∴2∠OFN+2∠OFS=180°．
∴∠OFN+∠OFS=90°．
∴∠NFS=90°．
∴△NFS是直角三角形．
（4）過點M作MH⊥l，垂足為H，如圖4，
在（3）中已證到PF=PN，由此可得：拋物線y=-

1

3

x²上的點到點F（0，-

3

4

）的距離與到直線y=

3

4

的距離相等．
∴MF=MH．
∴MA+MF=MA+MH．
由兩點之間線段最短可得：
當A、M、H三點共線（即AM⊥l）時，MA+MH（即MA+MF）最小，等于AH．
即x_M=x_A=-2時，MA+MF取到最小值．
此時，y_M=-

1

3

×（-2）²=-

4

3

，點M的坐標為（-2，-

4

3

）；
y_A=

1

3

×（-2）-2=-

8

3

，點A的坐標為（-2，-

8

3

）；
MF+MA的最小值=AH=

3

4

-（-

8

3

）=

41

12

．
∴當點M的坐標為（-2，-

4

3

）時，MF+MA的值最小，最小值為

41

12

．

點評：本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)及一次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的最值、二次根式的化簡、兩點之間線段最短等知識，綜合性非常強，難度比較大．而證出PF=PN及由此得出“拋物線y=-

1

3

x²上的點到點F（0，-

3

4

）的距離與到直線y=

3

4

的距離相等”是解決第三小題和第四小題的關鍵．