【題目】[知識生成]通常,用兩種不同的方法計算同一個圖形的面積,可以得到一個恒等式.
例如:如圖①是一個長為,寬為的長方形,沿圖中虛線用剪刀均分成四個小長方形,然后按圖②的形狀拼成一個正方形.請解答下列問題:
(1)圖②中陰影部分的正方形的邊長是________________;
(2)請用兩種不同的方法求圖②中陰影部分的面積:
方法1:________________________;方法2:_______________________;
(3)觀察圖②,請你寫出(a+b)2、、之間的等量關(guān)系是____________________________________________;
(4)根據(jù)(3)中的等量關(guān)系解決如下問題:若,,則=
[知識遷移]
類似地,用兩種不同的方法計算同一幾何體的體積,也可以得到一個恒等式.
(5)根據(jù)圖③,寫出一個代數(shù)恒等式:____________________________;
(6)已知,,利用上面的規(guī)律求的值.
【答案】(1) a-b;(2); ; (3);(4) 14;(5) (a+b)3=a3+b3+3a2b+3ab2;(6) 9.
【解析】
(1)由圖直接求得邊長即可,
(2)已知邊長直接求面積,陰影面積是大正方形面積減去四個長方形面積,可得答案,
(3)利用面積相等推導(dǎo)公式;
(4)利用(3)中的公式求解即可,
(5)利用體積相等推導(dǎo);
(6)應(yīng)用(5)中的公式即可.
解:(1)由圖直接求得陰影邊長為a-b;
故答案為:a-b;
(2)方法一:已知邊長直接求面積為;
方法二:陰影面積是大正方形面積減去四個長方形面積,
∴面積為;
故答案為;;
(3)由陰影部分面積相等可得;
故答案為:
(4)由,
可得,
∵,
∴ ,
∴ ;
故答案為;
(5)方法一:正方體棱長為a+b, ∴體積為,
方法二:正方體體積是長方體和小正方體的體積和,
即,
∴;
故答案為;
(6)∵;
將a+b=3,ab=1,代入得:
;
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,等邊△ABC的周長為18cm,BD為AC邊上的中線,動點(diǎn)P,Q分別在線段BC,BD上運(yùn)動,連接CQ,PQ,當(dāng)BP長為_____cm時,線段CQ+PQ的和為最小.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】按下面程序計算,即根據(jù)輸入的判斷是否大于500,若大于500則輸出,結(jié)束計算,若不大于500,則以現(xiàn)在的的值作為新的的值,繼續(xù)運(yùn)算,循環(huán)往復(fù),直至輸出結(jié)果為止.若開始輸入的值為正整數(shù),最后輸出的結(jié)果為656,則滿足條件的所有的值是__.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖是二次函數(shù) 圖象的一部分,對稱軸為 ,且經(jīng)過點(diǎn)(2,0)下列說法:①abc<0;②-2b+c=0;③4a+2b+c<0;④若(- ,y1),( ,y2)是拋物線上的兩點(diǎn),則y1<y2;⑤ >m(am+b)其中(m≠ )其中說法正確的是( )
A.①②④⑤
B.③④
C.①③
D.①②⑤
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△AOB中,∠AOB=90°,∠BAO=30°,以AB為一邊作等邊△ABE,作OA的垂直平分線MN交AB的垂線AD于點(diǎn)D.
(1)連接BD,OE.求證:BD=OE;
(2)連接DE交AB于F.求證:F為DE的中點(diǎn).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,有一個形如六邊形的點(diǎn)陣,它的中心是一個點(diǎn),作為第一層,第二層每邊有兩個點(diǎn),第三層每邊有三個點(diǎn),依此類推.
(1)填寫下表:
層 數(shù) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | … |
該層對應(yīng)的點(diǎn)數(shù) | 1 | 6 | … |
(2)寫出第n層所對應(yīng)的點(diǎn)數(shù)(n≥2).
(3)如果某一層共96個點(diǎn),你知道它是第幾層嗎?
(4)有沒有一層,它的點(diǎn)數(shù)為100個?
(5)寫出n層的六邊形點(diǎn)陣的總點(diǎn)數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A(1,5)和點(diǎn)B(m,1)均在反比例函數(shù)y= 圖象上.
(1)求m,k的值;
(2)設(shè)直線AB與x軸交于點(diǎn)C,求△AOC的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(一)問題提出:如何把n個邊長為1的正方形,剪拼成一個大正方形?
(二)解決方法
探究一:若n是完全平方數(shù),我們不用剪切小正方形,可直接將小正方形拼成一個大正方形,如圖(1),用四個邊長為1的小正方形可以拼成一個大正方形.
問題1:請用9個邊長為1的小正方形在圖(2)的位置拼成一個大正方形.
探究二:若n=2,5,10,13等這些數(shù),都可以用兩個正整數(shù)的平方和來表示,以n=5為例,用5個邊長為1的小正方形剪拼成一個大正方形.
(1)計算:拼成的大正方形的面積為5,邊長為,可表示成;
(2)剪切:如圖(3)將5個小正方形按如圖所示分成5部分,虛線為剪切線;
(3)拼圖:以圖(3)中的虛線為邊,拼成一個邊長為的大正方形,如圖(4).
問題2:請仿照上面的研究方式,用13個邊長為1的小正方形剪拼成一個大正方形;
(1)計算:拼成的大正方形的面積為____,邊長為_____,可表示成____;
(2)剪切:請仿照圖(3)的方法,在圖(5)的位置畫出圖形.
(3)拼圖:請仿照圖(4)的方法,在圖(6)的位置出拼成的圖.
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