Question

如圖，△ABC中，AC＞AB，D是BA延長線上一點，點E是∠CAD平分線上一點，EB=EC過點E作EF⊥AC于F，EG⊥AD于G．

（1）請你在不添加輔助線的情況下找出一對你認(rèn)為全等的三角形，并加以證明；

（2）若AB=3，AC=5，求AF的長．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）1.

【解析】

試題分析：已知AE平分∠CAD，EF⊥AC，EG⊥AD及公共邊AE，則利用AAS判定△EGA≌△EFA；由△EGA≌△EFA可得到EG=EF，AG=AF，根據(jù)HL可判定Rt△EGB≌Rt△EFC，從而得到BG=CF，整理可得到2AF=AC-AB，從而可求得AF的長．

試題解析：（1）△EGA≌△EFA（或△EGB≌△EFC）．

證明：∵AE平分∠CAD，

∴∠EAG=∠EAF．

又∵EF⊥AC，EG⊥AD，

∴∠EGA=∠EFA=90°．

在△AEG和△EFA中：

∠EAG=∠EAF，∠EGA=∠EFA，AE=AE，

∴△EGA≌△EFA（AAS）．

（2）∵AE平分∠CAD且EF⊥AC，EG⊥AD，

∴EG=EF，∠EGB=∠EFC=90°．

在Rt△EGB和Rt△EFC中

．

∴Rt△EGB≌Rt△EFC（HL）．

∴BG=CF．

又∵BG=AB+AG，CF=AC-AF，

即AB+AG=AC-AF，

又∵△EGA≌△EFA，

∴AG=AF．

∴2AF=AC-AB=5-3=2．

∴AF=1．

考點：全等三角形的判定與性質(zhì)．