Question

如圖，P為邊長為2的正三角形中任意一點，連接PA、PB、PC．過P點分別作三邊的垂線，垂足分別為D、E、F，則PD+PE+PF=

 

；陰影部分的面積為

 

．

Answer 1

考點：等邊三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）求出等邊三角形的高，再根據(jù)△ABC的面積等于△PAB、△PBC、△PAC三個三角形面積的和，列式并整理即可得到PD+PE+PF等于三角形的高；
（2）因為點P是三角形內(nèi)任意一點，所以當點P為三角形的中心時，陰影部分的面積等于三角形面積的一半，求出△ABC的面積，即可得到陰影部分的面積．

解答：解：（1）∵正三角形的邊長為2，
∴高為2×sin60°=

3

，
∴S_△ABC=

1

2

×2×

3

=

3

，
∵PD、PE、PF分別為BC、AC、AB邊上的高，
∴S_△PBC=

1

2

BC•PD，S_△PAC=

1

2

AC•PE，S_△PAB=

1

2

AB•PF，
∵AB=BC=AC，
∴S_△PBC+S_△PAC+S_△PAB=

1

2

BC•PD+

1

2

AC•PE+

1

2

AB•PF=

1

2

×2（PD+PE+PF）=PD+PE+PF，
∵S_△ABC=S_△PBC+S_△PAC+S_△PAB，
∴PD+PE+PF=

3

；

（2）∵點P是三角形內(nèi)任意一點，
∴當點P是△ABC的中心時，陰影部分的面積等于△ABC面積的一半，
即陰影部分的面積為

1

2

S_△ABC=

3

2

．
故答案為：

3

，

3

2

．

點評：本題主要利用等邊三角形三邊相等的性質(zhì)和三角形的面積等于被分成的三個三角形的面積的和求解；第二問體現(xiàn)了數(shù)學問題中由一般到特殊的解題思想．