Question

如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O外，連接OC，OC⊥AB，弦BD交OC于點E，CD=CE
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若AB=13，BD=12，求DE的長．

Answer 1

考點：切線的判定,解直角三角形

專題：證明題

分析：（1）連接OD，如圖1，由CD=CE得∠1=∠2，由CO⊥AB得∠3+∠5=90°，由于∠2=∠3，則∠1+∠5=90°，再加上∠4=∠5，所以∠1+∠4=90°，于是可根據(jù)切線的判定定理得到CD是⊙O的切線；
（2）連接AD，如圖2，根據(jù)圓周角定理由AB是⊙O的直徑得∠ADB=90°，在Rt△ABD中，根據(jù)勾股定理計算出AD=5，再證明Rt△BOE∽Rt△BDA，利用相似比可計算出BE=

169

24

，然后利用DE=BD-BE進(jìn)行計算．

解答：（1）證明：連接OD，如圖1，
∵CD=CE，
∴∠1=∠2，
∵CO⊥AB，
∴∠3+∠5=90°，
而∠2=∠3，
∴∠1+∠5=90°，
∵OB=OD，
∴∠4=∠5，
∴∠1+∠4=90°，
∴OD⊥DC，
∴CD是⊙O的切線；
（2）解：連接AD，如圖2，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ABD中，
∵AB=13，BD=12，
∴AD=

AB2-BD2

=5，
∵∠OBE=∠DBA，
∴Rt△BOE∽Rt△BDA，
∴

BE

AB

=

BO

BD

，即

BE

13

=

13 2

12

，
∴BE=

169

24

，
∴DE=BD-BE=12-

169

24

=

119

24

．

點評：本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了勾股定理和相似三角形的判定與性質(zhì)．