Question

如圖，△A₁B₁C₁是邊長為1的等邊三角形，A₂為等邊△A₁B₁C₁的中心，連接
A₂B₁并延長到點B₂，使A₂B₁=B₁B₂，以A₂B₂為邊作等邊△A₂B₂C₂，A₃為等邊
△A₂B₂C₂的中心，連接A₃B₂并延長到點B₃，使A₃B₂=B₂B₃，以A₃B₃為邊作等邊△A₃B₃C₃，依次作下去得到等邊△A_nB_nC_n，則等邊△A₅B₅C₅的邊長為

 

．

Answer 1

考點：等邊三角形的性質(zhì)

專題：規(guī)律型

分析：作A₂D₁⊥A₁B₁于D₁，A₃D₂⊥A₂B₂于D₂，根據(jù)等邊三角形的中心的性質(zhì)得∠A₂B₁D₁=30°，B₁D₁=

1

2

A₁B₁=

1

2

，利用余弦的定義得cos∠A₂B₁D₁=cos30°=

B1D1

A2B1

=

3

2

，可計算出A₂B₁=

3

3

，由A₂B₁=B₁B₂得到A₂B₂=

2 3

3

，用同樣的方法可計算出A₃B₃=（

2 3

3

）²，于是A₄B₄=（

2 3

3

）³，A₅B₅=（

2 3

3

）⁴．

解答：解：作A₂D₁⊥A₁B₁于D₁，A₃D₂⊥A₂B₂于D₂，如圖，
∵△A₁B₁C₁是邊長為1的等邊三角形，A₂為等邊△A₁B₁C₁的中心，
∴∠A₂B₁D₁=30°，B₁D₁=

1

2

A₁B₁=

1

2

，
∴cos∠A₂B₁D₁=cos30°=

B1D1

A2B1

=

3

2

，
∴A₂B₁=

3

3

，
∵A₂B₁=B₁B₂，
∴A₂B₂=

2 3

3

，
同理可得∠A₃B₂D₂=30°，B₂D₂=

1

2

A₂B₂=

1

2

×

2 3

3

=

3

3

，
∴cos∠A₃B₂D₂=cos30°=

B2D2

A3B2

=

3

2

，
∴A₃B₂=

2

3

，
∵A₃B₂=B₂B₃，
∴A₃B₃=

4

3

=（

2

3

）²=（

2 3

3

）²，
同理可得A₄B₄=（

2 3

3

）³，
A₅B₅=（

2 3

3

）⁴．=

16

9

故答案為

16

9

．

點評：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，且都等于60°．也考查了特殊角的三角函數(shù)值．