Question

如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是AC邊上（端點(diǎn)除外）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作直線MN∥BC.設(shè)MN交∠BCA的平分線于點(diǎn)E,交∠BCA的外角平分線于點(diǎn)F，連接AE、AF。

（1）那么當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AECF是矩形？并說(shuō)明理由。

（2）在(1)的前提下△ABC滿(mǎn)足什么條件,四邊形AECF是正方形？(直接寫(xiě)出答案,無(wú)需證明)。

 

 

Answer 1

（1）當(dāng)O運(yùn)動(dòng)到AC中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形，理由詳見(jiàn)解析. (2)當(dāng)△ABC為直角三角形且∠BCA=90°時(shí)四邊形AECF是正方形，理由詳見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析：根據(jù)矩形的判定定理選擇合適的判定方法，巧妙運(yùn)用平行線和角平分線即可解答.

（1）當(dāng)O運(yùn)動(dòng)到AC中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形.

證明：如圖所示∵O運(yùn)動(dòng)到AC中點(diǎn)，∴OA=OC=，∵MN∥BC，∴∠1=∠2(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)∵CF為∠BCA的外角平分線∴∠1=∠3，∴∠2=∠3∴OF=OC（△COF為等腰三角形），同理可得OE=OC

∵OA=OC，OF=OC，OE=OC∴OA=OC=OE=OF即EF、AC相互平分，且AC=EF，∴四邊形AECF是矩形.（兩對(duì)角線相互平分且相等）.

(2)當(dāng)△ABC為直角三角形且∠BCA=90°時(shí)四邊形AECF是正方形.

證明∵MN∥BC∴∠AOE=∠BCA=90°即AC⊥EF，又∵四邊形AECF是矩形，∴四邊形AECF是正方形（矩形判定定理：對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形）.

考點(diǎn)：1.矩形判定定理：2.正方形判定定理；3.平行線性質(zhì)；4.角平分線定義.