Question

在數(shù)學探究課上，老師出示了這樣的探究問題，請你一起來探究：
已知：C是線段AB所在平面內任意一點，分別以AC、BC為邊，在AB同側作等邊三角形ACE和BCD，聯(lián)結AD、BE交于點P．
（1）如圖1，當點C在線段AB上移動時，線段AD 與BE的數(shù)量關系是：

 

．
（2）如圖2，當點C在直線AB外，且∠ACB＜120°，上面的結論是否還成立？若成立請證明，不成立說明理由．此時∠APE是否隨著∠ACB的大小發(fā)生變化，若變化寫出變化規(guī)律，若不變，請求出∠APE的度數(shù)．
（3）如圖3，在（2）的條件下，以AB為邊在AB另一側作等邊三角形△ABF，聯(lián)結AD、BE和CF交于點P，求證：PB+PC+PA=BE．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,等邊三角形的判定與性質

專題：

分析：（1）直接寫出答案即可．
（2）證明△ECB≌△ACD，得到∠CEB=∠CAD，此為解題的關鍵性結論；借助內角和定理即可解決問題．
（3）如圖，作輔助線，證明△CPA≌△CHE，即可解決問題．

解答：解：（1）∵△ACE、△CBD均為等邊三角形，
∴AC=EC，CD=CB，∠ACE=∠BCD，
∴∠ACD=∠ECB；
在△ACD與△ECB中，

AC=EC ∠ACD=∠ECB CD=CB

，
∴△ACD≌△ECB（SAS），
∴AD=BE，
故答案為AD=BE．
（2）AD=BE成立，∠APE不隨著∠ACB的大小發(fā)生變化，始終是60°．
證明：∵△ACE和△BCD是等邊三角形
∴EC=AC，BC=DC，
∠ACE=∠BCD=60°，
∴∠ACE+∠ACB=∠BCD+∠ACB，即∠ECB=∠ACD；
在△ECB和△ACD中，

EC=AC ∠ECB=∠ACD BC=DC

∴△ECB≌△ACD（SAS），
∴∠CEB=∠CAD；
設BE與AC交于Q，
又∵∠AQP=∠EQC，∠AQP+∠QAP+∠APQ=∠EQC+∠CEQ+∠ECQ=180°
∴∠APQ=∠ECQ=60°，即∠APE=60°． 
（3）由（2）同理可得∠CPE=∠EAC=60°；在PE上截取PH=PC，連接HC，
則△PCH為等邊三角形，
∴HC=PC，∠CHP=60°，
∴∠CHE=120°；
又∵∠APE=∠CPE=60°，
∴∠CPA=120°，
∴∠CPA=∠CHE；
在△CPA和△CHE中，

∠CPA=∠CHE ∠CAP=∠CEH PC=HC

，
∴△CPA≌△CHE（AAS），
∴AP=EH，
∴PB+PC+PA=PB+PH+EH=BE．

點評：該題以等邊三角形為載體，主要考查了全等三角形的判定及其性質、等邊三角形的性質等幾何知識點的應用問題；對綜合的分析問題解決問題的能力提出了較高的要求．